Die Lebensdauer von Glühlampen variiert stark. Wir gehen im Folgenden von einer gleichmäßigen Nutzung der Glühlampen mit 1000 Stunden im Jahr aus. Bei dieser Nutzung gilt, dass 40 % der Glühlampen bereits im ersten Jahr durchbrennen. Innerhalb des zweiten Jahres werden 25 % der Glühlampen defekt. Innerhalb des dritten Jahres werden 30 % der Glühlampen defekt. Länger als vier Jahre leuchtet keine der Glühlampen.
a) (1) Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt in einem geeigneten Diagramm dar.
(2) Berechnen Sie die durchschnittlich zu erwartende Lebensdauer der Glühlampen. (4+5 Punkte)
b) Seit September 2012 werden in Deutschland keine Glühlampen mehr verkauft. Stattdessen werden Energiesparlampen angeboten, die u. a. eine längere Lebenszeit haben. Vereinfachend gehen wir von sechs Altersstufen1 der Energiesparlampen aus, deren Anzahlen
J1 Anzahl der Lampen im ersten Jahr ihrer Betriebszeit
J2 Anzahl der Lampen im zweiten Jahr ihrer Betriebszeit ...
J6 Anzahl der Lampen im sechsten Jahr ihrer Betriebszeit am Ende jedes Kalenderjahres durch Zählung ermittelt und jeweils zu einer Altersverteilung Vektor v = J1, J2,J3,J4,J5,J6 zusammengefasst werden. Wir gehen in diesem Modell davon aus, dass jede defekte Energiesparlampe sogleich durch eine neue ersetzt wird. Die Matrix P be schreibt die Entwicklung der Altersverteilung der Energiesparlampen von Jahr zu Jahr.
