Bestimmen Sie alle komplexe Lösungen z der folgenden Gleichungen: (z-3i)^6 + 64= 0, ...

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle komplexen Lösungen \( z \) der folgenden Gleichungen:
$$ (z-3 i)^{6}+64=0, \quad z^{2}-z+i z-i=0 $$ Also ich habe jetzt das erste soweit gemacht, und weiß nicht mehr wie weiter... Kann mir bitte jemand das erklären?

Answer 1

Du rechnest zu viel:

z ist nur einmal in der Gleichung vorhanden. Du kannst daher die Gleichung nach z auflösen:

(z-3i)^6 + 64= 0, 

(z-3i)^6 = - 64 

(z-3i)^6 = 64* e^{iπ}       | alle 6. Wurzeln dieser Zahl bestimmen. 

z-3i = ⁶√(64) * e^ (iπ/6  + (2πk)/6 * i)

z = 3i + 2 * e^ (iπ/6  + (2πk)/6 * i)   , k€Z oder k= 0,1,2,3,4,5 je nach exakter Fragestellung 

Den blauen Teil kannst du noch in kartesische Form umschreiben .

Bsp. https://www.mathelounge.de/208920/berechnen-sie-alle-komplexen-zahlen-z-fur-die-gilt-bsp-z-3i-64

Comments

Könntest du mir noch bitte mit der 2.Gleichung helfen?

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Da habe ich trotzdem noch eine Frage, also ist -1=e^iπ , richtig?

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-1=e^iπ  

Ja. Das stimmt so. 

Answer 2

Aufgabe 2)

ohne PQ-Formel geht es auch , wenn man sieht:

(z-1)(z+i)=0