Binomialkoeffizienten einfach erklären

Question

Kann mir bitte jemand einfach anhand eines Beispiels erklären, wie man auf den Binomialkoeffizienten in der Wahrscheinlichkeitsrechnung kommt. Der Artikel der Wikipedia ist zu kompliziert.

\( \begin{aligned}\left(\begin{array}{c}{n} \\ {k}\end{array}\right) &=\frac{n}{1} \cdot \frac{n-1}{2} \cdots \frac{n-(k-1)}{k} \\ &=\frac{n \cdot(n-1) \cdots(n-k+1)}{k !} \\ &=\prod \limits_{j=1}^{k} \frac{n+1-j}{j} \end{aligned} \)

Wie kommt man auf solch eine Formel?

Bitte seid so lieb und zeigt mir schrittweise ein Beispiel, dass ich es (und andere in meiner Klasse) auch verstehen und anwenden können ... aber nicht nur die Formel anwenden, das bringt mir nichts. 

Answer 1

Ich schreibe mal den Binomialkoeffizienten (n über k)


(10 über 0) ist die Anzahl der Möglichkeiten aus 10 Elementen 0 Elemente zu nehmen. Also. Ich habe 10 Bücher und du darfst dir keines wegnehmen. Wie viele Möglichkeiten hast du.

Richtig das ist nur eine, denn du nimmst kein Buch und gehst :)

(10 über 1) ist die Anzahl der Möglichkeiten aus 10 Elementen 1 Element zu nehmen. Also. Ich habe 10 Bücher und du darfst dir eines wegnehmen. Wie viele Möglichkeiten hast du.
Da du jedes der 10 Bücher nehmen kannst hast du 10 Möglichkeiten.

(10 über 2) ist die Anzahl der Möglichkeiten aus 10 Elementen 2 Elemente zu nehmen. Also. Ich habe 10 Bücher und du darfst dir zwei wegnehmen. Wie viele Möglichkeiten hast du.
Für das erste Buch hast du 10 Möglichkeiten, für das zweite Buch noch 9 Möglichkeiten. Da die Reihenfolge aber keine Rolle spielt müssen wir durch die Anzahl Permutationen von 2 Büchern teilen. Also 10 * 9 / 2!

(10 über 3) ist die Anzahl der Möglichkeiten aus 10 Elementen 3 Elemente zu nehmen. Also. Ich habe 10 Bücher und du darfst dir drei wegnehmen. Wie viele Möglichkeiten hast du.
Für das erste Buch hast du 10 Möglichkeiten, für das zweite Buch noch 9 Möglichkeiten und für das dritte Buch noch 8 Möglichkeiten. Da die Reihenfolge aber keine Rolle spielt müssen wir durch die Anzahl Permutationen von 3 Büchern teilen. Also 10 * 9 * 8 / 3!

10 * 9 * 8 kann man aber auch schreiben als 10! / 7!. Damit haben wir 10! / 7! / 3! bzw. 10! / (7! * 3!).

(n über k) ist die Anzahl Möglichkeiten aus n Elementen k Elemente zu nehmen. Also ich habe n Bücher und du darfst dir k wegnehmen. Wie viele Möglichkeiten hast du.

Für das Erste n Möglichkeiten, für das zweite n-1 Möglichkeiten, für das dritte n-2 Möglichkeiten, für das k-te n-(k - 1) = n - k + 1 Möglichkeiten.

Also n * (n - 1) * (n - 2) * ... * n - k + 1.

Das lässt sich auch schreiben als
n! / (n - k)!

Allerdings berücksichtige ich hier ja noch die Reihenfolge mit, sodass ich noch durch die Permutationen von k Elementen teilen muss. k Elemente haben aber k! verschiedene Anordnungen.

Damit kommen wir letztendlich auf

n! / (n - k)! / k! = n! / ((n - k)! * k!)

Diese Formel nennt man dann auch den Binomialkoeffizienten (n über k). Ich merke mir den Nenner noch vertauscht.

(n über k) = n! / (k! * (n - k)!)

Comments

Schön verständlich erklärt, ich bin aber bei "Da die Reihenfolge aber keine Rolle spielt müssen wir durch die Anzahl Permutationen von 2 Büchern teilen. Also 10 * 9 / 2!" augestiegen :(

Anzahl Permutationen von 2 Büchern?

Permutation = "Anordnung von Objekten in einer bestimmten Reihenfolge" ?

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Ja. Nehmen wir an du hast 2 Bücher in deiner Bücherwand stehen. In wie viel Reihenfolgen können die stehen?
AB und BA

Also Band A vor Band B oder Band B vor Band A. Das macht zwei verschiedene Anordnungen

2! = 1 * 2 = 2

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Verständnis klemmt immer noch beim obigen Satz. Könntest du das noch mal anders formulieren?

"Da die Reihenfolge aber keine Rolle spielt müssen wir durch die Anzahl Permutationen von 2 Büchern teilen. Also 10 * 9 / 2!"

Was heißt das? Permutationen? ... Also 10 Möglichkeiten haben wir beim 1. Durchgang, beim 2. Durchgang für Buch B nur noch 9 Möglichkeiten. Also 10*9 = 90 Möglichkeiten.

Weshalb teilen wir jetzt durch 2 Fakultät?

Danke für deine Hilfe!

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Ich nenne mal die Bücher
ABCDEFGHIJ

Das Sind 10 Bücher. Davon darfst du 3 nehmen.

Da es aber egal ist ob du

ABC, ACB, BAC, BCA, CAB oder CBA
nimmst musst du durch die Anzahl der Anordnungen dieser 3 Bücher teilen. 3 Bücher lassen sich auf 3! verschiedenen Möglichkeiten Anordnen.

So etwas klarer ?

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Langsam erscheint ein kleines Licht im dunklen Raum.

Ich verstehe nur nicht, weshalb wir statt 90 Möglichkeiten nun weniger 90 / 2! = 45 haben. Da die Reihenfolge ja keine Bedeutung hat... warum vermindert sich dann die Anzahl an Möglichkeiten?

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Ich würde mich freuen, wenn du noch den Rest erklären könntest. Beste Antwort schon mal vergeben =)))

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Noch ein einfaches Beispiel:

Du hast 3 Pferde A, B und C und willst wetten, welche 2 Pferde als erste ins Ziel laufen - ohne aber zu berücksichtigen, wer erster und wer zweiter wird. 

Du könntest wählen

AB oder BA - C verliert

AC oder CA - B verliert

BC oder CB - A verliert

Jetzt haben wir die 6 Möglichkeiten aufgelistet; aber weil wir ja nicht zwischen AB und BA bzw. zwischen AC und CA bzw. BC und CB unterscheiden, bleiben nur 3 Möglichkeiten über. 

Und das entspricht genau dem Binomialkoeffizienten 3 über 2: 

3! / (2!*1!) = 3*2*1 / (2*1*1) = 6/2 = 3

Etwas klarer geworden?