Finde eine Funktion die schneller wächst als jede potenz aber langsamer als jede exponentialfunktion

Question

Könnt ihr mir bei der Aufgabe 2 helfen?

Version 2022:

Wäre für f(t)/e^(at) möglich mit

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) x/e^(nx) = 1/n \( \lim\limits_{x\to\infty} \) 1/e^(nx) = 1/n *0 =0

Answer 1

Version 2022

Titel: Finden sie eine Funktion, die „schneller als jede Potenz“ wächst, aber „langsamer als jede Exponentialfunktion“.

Stichworte: funktion,exponentialfunktion,potenzen

Aufgabe:

Finden sie eine Funktion, die „schneller als jede Potenz“ wächst, aber „langsamer als jede Exponentialfunktion“.

Dh. Eine Funktion finden f:[0,∞]->ℝ

\( \lim\limits_{t\to\infty} \) f(t)/tⁿ -> ∞ und \( \lim\limits_{t\to\infty} \) f(t)/ e^(at) -> 0 ∀ n∈ℕ und a>0

Comments

\( \lim\limits_{t\to\infty} \) f(t)/tⁿ und \( \lim\limits_{t\to\infty} \) f(t)/ e^(at) 

Da fehlen die rechten Seiten der Gleichungen.

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Habe ich verbessert,sorry:/

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Wäre für f(t)/e^(at) möglich mit

\( \lim\limits_{x\to\infty} \) x/e^(nx) = 1/n \( \lim\limits_{x\to\infty} \) 1/e^(nx) = 1/n *0 =0

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\( \lim\limits_{t\to\infty} \) f(t)/tⁿ -> ∞ und \( \lim\limits_{t\to\infty} \) f(t)/ e^(at) -> 0

Das sieht besser aus; zumindest ist jetzt ersichtlich was gemeint ist. Aber:

Der Limes von f(t)/tⁿ soll nicht gegen ∞ gehen.

Der Limes von f(t)/tⁿ soll ∞ sein.

Also

    \( \lim\limits_{t\to\infty} \) f(t)/tⁿ = ∞.

Übrigens habe ich eine starke Vermutung, dass \(f(t) = \frac{\mathrm{e}^t}{t}\) eine solche Funktion ist.

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Dann ist es wahrscheinlich ein Tippfehler auf dem Blatt.

Ich verstehe die Aufgabe nicht wirklich

Wieso e^t /t ?

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Also limes e^t /t =0 für t->-∞

Dh für f(t)/ tⁿ wäre der limes 0

Da f(t)=0 und für t^n wissen wir wird immer größer

Dh wir haben 0/∞ was bei uns nicht definiert ist.

Answer 2

Versuchs mal mit \( f(t) = t^{n+1} \)

Comments

Die Aussage soll für alle \(n\in\mathbb N\) gelten und nicht nur für ein fest gewähltes.