Richtiges Wort von Liste raten: Wann 50 % Wahrscheinlichkeit, dass ein Treffer dabei?

Question

mich beschäftigt eine Aussage, die ich auf einer Webseite gelesen habe. Ich habe entweder einen totalen Denkfehler oder eben nicht:

Es geht darum, dass man eine Liste mit n Wörtern hat. Wie viele Versuche benötigt man durchschnittlich, um genau einen Treffer zu erhalten?

Auf der Webseite steht konkret n/2 ist die Zahl der durchschnittlichen Versuche. Wenn ich aber bei n/2 angelangt bin, dann habe ich doch bereits (n/2)-1 Wörter von der Liste gestrichen und habe noch n/2 Wörter, unter denen das richtige Wort ist.

Meine Ansätze waren ein Baumdiagramm mit 1/n ( = Treffer) und 1 - (1/n) ( = kein Treffer), aber im Prinzip würde man ja kein Wort wieder wählen, sondern streichen. Ein Ausflug auf das Gebiet Kombinatorik würde das Urnenmodell ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge bedeuten …

Momentan bin ich total verwirrt. Ideen willkommen! Danke sehr!

Answer 1

DCoben,

versuchen wir mal folgenden Denkansatz (exemplarisch mit n=10, ohne Zurücklegen): Am Anfang triffst Du mit einer Wahrscheinlichkeit von $$\dfrac{9}{10}$$ nicht. Nun sind noch $$10-1=9$$ Wörter übrig. Im nächsten Versuch triffst Du mit einer Wahrscheinlichkeit von \dfrac{8}{9} nicht. Diesen Gedankengang setzt Du so lange fort, bis das Produkt der Brüche die geforderten 50% (= 1 - 0.5 oder 0.5) ergibt. Probieren wir das einmal für unser Beispiel:

$$\underbrace{\dfrac{9}{10}\cdot\dfrac{8}{9}\cdot\dfrac{7}{8}\cdot\dfrac{6}{7}\cdot\dfrac{5}{6}=0.5}_{\dfrac{n}{2}=5 \text{ mal}}$$ Daher kommt das Ergebnis $$\dfrac{n}{2}$$ Setze für n verschiedene (gerade) Zahlenwerte ein und rechne das einmal nach. Du wirst feststellen, dass diese Überlegung zum richtigen Ergebnis führt.

Ich hoffe, dass ich Dir damit weiterhelfen konnte. Stelle gerne Rückfragen, wenn noch welche vorhanden sind.

André, saevst8

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Danke für die Antwort. Mir ist jetzt klar geworden, warum das so ist.

Answer 2

Falls die Sachlage so ist

1 Reihe mit 9 roten und 1 weißen Kugel.
Farbe nicht sichtbar.

Die Wahrscheinlichkeit das die weiße Kugel
sich unter den ersten 5 Kugeln befindet ist 50 %.

Trefferquote bei 5 gezogenen Kugeln : 50 %

mfg Georg

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Das ist aber doch nicht die Antwort auf die eigentliche Frage   Wie viele Versuche benötigt man durchschnittlich, um genau einen Treffer zu erhalten?

Die Antwort darauf ist nämlich  (n+1)/2 .