Die Chance, 2 teilerfremde Zahlen zu ziehen.

Question

Ich habe einen Aufgabenzettel meiner Tochter bekommen und bin ratlos.... Kann mir jemand bitte helfen?

Vielen herzlichen Dank!

Frank

Comments

https://de.wikipedia.org/wiki/Teilerfremdheit notiert unter "Eigenschaften" die herzuleitende Wahrscheinlichkeit und in der angegebenen Quelle (Peter Bundschuh: Zahlentheorie) auch einen Beweis nebst Hinweisen auf die originalen Artikel.

(Falls man das Rad nicht unbedingt neu erfinden möchte.)

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a/t und b/t sind teilerfremd, wenn ggt[(a/t), (b/t)] = 1 ist daraus folgt:

t * ggt[(a/t), (b/t)] = 1 * t, ggt[a,b] = t

Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit:

P [ggt[(a/t), (b/t)] =1] = P [ggt[a,b] =t]. Aber warum ist dann P [ggt[a,b] =t] = x, für x=P(a,b teilerfremd)?

Wo ist mein Denkfehler?

Answer 1

1) Es gilt dass $$ggT\left(\frac{a}{t}, \frac{b}{t}\right)=\frac{ggT(a,b)}{t}$$ Davon haben wir dass a/t und b/t teilerfremd sind wenn $$ggT\left(\frac{a}{t}, \frac{b}{t}\right)=1$$ also wenn $$t=ggT(a,b)$$

Wir haben dass $$P\left(\frac{a}{t}, \frac{b}{t} \text{ teilerfremd } \right)=x \iff P(ggT(a,b)=t)=x$$