f(x) = ln(3wurzel(x^2-7x+40)) Df,Wf,Minima,Umkehrfunktion

Question

Ich habe eine mehrteilige Aufgabe, komme aber schon bei der ersten Teilaufgabe nicht weiter  :

$$f(x)=ln(\sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 2 }-7x+40 } )$$

a) Leiten Sie Df her.

b)Leiten Sie Wf her. An welcher Stelle besitzt f ihren Minmalwert.

c)Ermitteln Sie explizit die Umkehrfunktion f^-1

Bei a) habe ich versucht den ausdruck unter der Wurzel < 0 zu bekommen. Kriege aber keinerlei Werte heraus. Heißt das, das Df auf ganz R ist?

Mit dem Ausdruck hinter ln habe das gleiche gemacht nur mit <= 0.

Und wie muss ich die anderen Teilaufgaben lösen?

Answer 1

f(x) = LN((x^2 - 7·x + 40)^{1/3})

f(x) = 1/3·LN(x^2 - 7·x + 40)

Definitionsbereich

y = x^2 - 7·x + 40 > 0 --> immer erfüllt --> Df = R

y' = 2·x - 7 = 0 --> x = 7/2 = 3.5

Umkehrfunktion

y = 1/3·LN(x^2 - 7·x + 40)

3·y = LN(x^2 - 7·x + 40)

e^{3·y} = x^2 - 7·x + 40

x^2 - 7·x + 40 - e^{3·y} = 0

x = 7/2 + √((7/2)^2 - (40 - e^{3·y}))

x = 7/2 + √(e^{3·y} - 27.75)

Comments

y' = 2·x - 7. Da fehlt der Nenner, was aber für die Nullstelle unerheblich ist.

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Ich nehme nicht die Ableitung der LN Funktion sondern einfach dem Term im LN weil der LN eine streng monoton steigende Funktion ist. Also hat der LN dort sein Minimum wo der Term im LN sein Minimum hat.

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In der vorletzten Zeile wird da die pq Formel benutzt? Warum ist dann vor der Wurzel neben dem + nicht auch ein - Zeichen? Und warum ist In der Wurzel vor dem (7/2)^2  kein -Zeichen?

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Eine Funktion hat eigentlich kein ± drin. Es gibt in deiner Funktion allerdings 2 Umkehrfunktionen, die du getrennt darstellen kannst und auch getrennt mit Definitionsmenge und Wertemenge betrachten solltest.

Damit du das nicht vergisst habe ich hier nur ein plus gesetzt.

Answer 2

a) D_f = ℝ

b) Minimalwert an der Stelle x=3,5

c) f^-1(x)=7/2±√(4e^3x-111)/2

Answer 3

Aufgabe c)