Design einer Flasche. Rotationsvolumen, Es geht um b) c) und e)

Question

Ich brauche noch Hilfe.......

Die Aufgabe lautet:

Design einer Flasche

Der Querschnitt einer Flasche wird zunächst durch einen \( 15 \,\mathrm{cm} \) langen Zylinder mit einem Durchmesser von \( 6 \,\mathrm{cm} \) und einem \( 10 \,\mathrm{cm} \) langen Flaschenhals mit der Randkurve \( f(x)=\frac{c}{x} \) modelliert.

a) Bestimmen Sie c.
b) Berechnen Sie den Durchmesser der Öffnung der Flasche.
c) Berechnen Sie das Volumen der Flasche.
Das Design der Flasche wird nun durch eine \( 10 \,\mathrm{cm} \) lange und \( 1\, \mathrm{cm} \) tiefe Einbuchtung verbessert. Diese kann durch eine quadratische Funktion \( g(x)=a x^{2}+b x+c \) modelliert werden.
d) Bestimmen Sie die Parameter a, b und c.
e) Wie groß ist das Volumen der neuen Flasche? f) Welche Querschnittsfläche hat das Flaschenprofil? Verwenden Sie \( \int \frac{1}{x} \mathrm{d} x=\ln |x|+C \).

Ich brauche die Lösungen nur zu den Aufgaben:

Bitte mit Rechenweg

b)

c) → Brauche das Volumen.... nicht g (x)

e)

Der Rest ist mir klar....

EDIT: Ich habe schon erledigt: 

a) c=15

d) g (x)=1/25 x² +2

f) 109,63

 

Answer 1

a)

f(5) = c/5 = 3 --> c = 15

b)

f(15) = 15/15 = 1 cm --> Der Durchmesser beträgt 2 cm

c)

V = pi·3^2·15 + ∫(pi·(15/x)^2, x, 5, 15) = 518.4 cm³

d)

f(x) = 1/5^2·x^2 + 2 = 0.04·x^2 + 2

e)

V = pi·3^2·5 + ∫(pi·(0.04·x^2 + 2)^2, x, -5, 5) + ∫(pi·(15/x)^2, x, 5, 15) = 409.5 cm³

f)

A = 2·(3·5 + ∫(0.04·x^2 + 2, x, -5, 5) + ∫(15/x, x, 5, 15)) = 109.6 cm²

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