Grenzwert von an = ∑ exp(−ρ)³, ρ > 0 fest, n ∈ ℕ (Unter der Summenzeichen j=2, darüber n+1), Monotonie

Question

Zerbreche mir an dieser Aufgabe den Kopf.

Bestimmen Sie, falls möglich, den Grenzwert der Folge

an = ∑ exp(−ρ)³, ρ > 0 fest, n ∈ ℕ  (Unter der Summenzeichen j=2, darüber n+1)

Untersuchen Sie die Folge (an) n ∈ ℕ auf Monotonie.

Würde mich über eure Hilfe freuen! :)

Liebe Grüße

Comments

sieht die Folge so aus? (a_n) = n/(e^{3p}) dann wäre es für jedes p > 0 streng monoton steigend (0 < e^{3p})

Answer 1

Die Folge ist monoton steigend

Es ist a_n+1 = ∑_j=2..n+2 exp(-ρ)³ = exp(-ρ)³ + ∑_j=2..n+1 exp(-ρ)³ = exp(-ρ)³+ a_n

Wegen exp(-ρ)³ > 0 ist also a_n+1 > a_n.

Die Folge divergiert bestimmt gegen ∞.

Es ist a_n = ∑_j=2..n+1 exp(-ρ)³ = n·exp(-ρ)³. Für n→∞ divergiert der eine Faktor bestimmt gegen ∞, der andere ist konstant und größer als 0. Also divergiert das Produkt bestimmt gegen ∞.