Ungleichung mit Brüchen. Alle x ∈ ℝ bestimmen für die gilt 2/(x-1) - 3/(x+1) ≤ 1

Question

es geht um folgende Aufgabe. Ich soll alle x ∈ ℝ bestimmen. Das Problem ist: Ich kann keine Fallunterscheidungen mehr und bitte deshalb um Hilfe, mir zu erklären, wie ich solche Aufgabentypen lösen kann.
Gruß 
Ungleichung mit Brüchen. Alle x ∈ ℝ bestimmen für die gilt 2/(x-1) - 3/(x+1) ≤ 1 

Comments

Eine Fallunterscheidung ist nicht notwendig.$$\large0\le1-\frac2{x-1}+\frac3{x+1}=\frac{(x+3)(x-2)}{(x+1)(x-1)}$$$$\large0\le(x+3)(x+1)(x-1)(x-2).$$

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Die Vorzeichenbetrachtung für die Faktoren, die jetzt notwendig ist, ist allerdings auch eine Fallunterscheidung.

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Danke für die Hilfe!

Wie sieht es dann mit dieser Aufgabe aus? Braucht man hier eine Fallunterscheidung? Wann braucht man überhaupt eine Fallunterscheidung? Tut mir Leid, die Sache mit der Fallunterscheidung ist bei mir eingerostet.

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Nach den Schreibregeln von ML musst du diese Frage als neue Frage formulieren, dann kann ich sie beantworten.

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Ich hoffe, jemand kann mir diese Aufgabe noch einmal erklären, verstehe sie nicht ganz.

Eine Rechnung wäre super!

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https://www.mathelounge.de/426573/betragsgleichung-mit-fallunterscheidungen-losen-x-3-x-5

Dazu hast du doch schon verschiedene Erklärungen und falls du noch Fragen dazu hast, dann stelle sie doch auch dort.

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Die Betragsungleichung war verständlich. Meine Frage bezieht sich jedoch auf die Aufgabe in dieser Frage. (siehe weit oben.)

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Erweitere die Ungleichung mit dem Hauptnenner \((x-1)\cdot (x+1)\) und beachte dabei, dass für \( -1 \lt x \lt +1 \) das Relationszeichen umgedreht werden muss.

Answer 1

Rechne so lange wie möglich mit + und - , dann brauchst du noch keine Fallunterscheidung.

Wenn du auf einer Seite der Ungleichung 0 und auf der andern nur noch einen (vielleicht gekürzten) Bruch hast, schaust du darauf, wann der Zähler und wann der Nenner positiv oder negativ ist.

Kombiniere dann geschickt.

Comments

nn hat in der ersten Zeile das gemacht, was ich oben vorgeschlagen habe.

0 ≤ (x+3)(x-2) / ((x+1)(x-1)) 

Nullstellen des Zählers x= -3 und x = 2

Nullstellen des Nenners x = - 1 und x = 1

1. Fall: Bruch ist grösser 0, wenn alle Faktoren > 0 sind:

Also für x > 2

2. Fall: Bruch ist grösser 0, wenn zwei Faktoren > 0 und zwei Fakoren < 0 sind:

Das ist im Bereich -1 < x < 1

3. Fall: Bruch ist grösser 0, wenn alle Faktoren < 0 sind:

Das ist im Bereich x < -3

4. Fall: Bruch ist 0, wenn ein Faktor im Zähler 0 ist:

Also x = -3 oder x = 2

Insgesamt:

L = { x Element R | x ≤ -3 oder -1<x<1 oder x ≥ 2 }