Gibt es Untervektorräume U1, U2, U3 und U4 von ℝ^3 mit folgenden Eingenschaften

Question

Gibt es Untervektorräume U₁, U₂, U₃ und U₄ von ℝ ³  mit U₁  U₂  U₃  U₄  ℝ ³ ?

Das Zeichen  bedeutet, dass beispielweise U₁  U₂  =  U₁ ist keine Teilmenge von U₂ ?

Answer 1

\( A \subset B \) heißt, A ist Teilmenge von B, wobei immer auch gilt, dass A = B sein kann, also \( A \subset A \).

\( A \subsetneq B \) heißt, A ist echte Teilmenge von B.

Dein Ausgangsraum ist der \( \Bbb R^3 \) mit der Dimension 3. Nun gibt es zwar echte Teilmengen der Dimension 3, die sind aber keine Vektorräume. Ein Unterraum der gleichen Dimension ist immer der Raum selbst, ein echter Unterraum muss in der Dimension niedriger sein.

Im besten Fall hat also \( U_4 \) die Dim. 2, \( U_3 \) die Dim. 1 und \( U_2 \) die Dim. 0. Und dann ist Schluss und \( U_1 \) kann kein echter Unterraum mehr sein.

Grüße,

M.B.