Nullstellen von komplexen Polynomen. z komplexe Zahlen

Question

 hi,

wie berechnet man die Nullstellen von komplexen Polynomen?
Wie wende ich die quadratische ergänzung an oder Substitution?

z.B zu Polynom a)
Der ausdruck 3i-2 stellt doch ein Term da und nicht zwei seperate?

a P(z) = z^2 + (3i - 2)z - 2 - 4i
b) P(z) = z^4 - 7z^2 - 18
c) P(z) = z^4 - z^3 + z^2 - 3z - 6  

Answer 1

z.B zu Polynom a)
Der ausdruck 3i-2 stellt doch ein Term da und nicht zwei seperate?

a P(z) = z2 + (3i - 2)z - 2 - 4i

Genau, also pq-Formel mit   p= 3i-2  und  q = -2-4igibt  z_1,2 =  -1,5i+1  ±√ (-1,5i+1)² -(-2-4i ))

             =  -1,5i+1  ±√ (i + 3/4)

            =  -1,5i+1  ±  ( 1+ 0,5i)

             z=2 -i  oder z = -2i

             
b) P(z) = z4 - 7z2 - 18
c) P(z) = z4 - z3 + z2 - 3z - 6

Comments

b) P(z) = z4 - 7z2 - 18 Substitution   z⁴ = x² und  z² = x gibt x= 9 oder x=-2

also z=3 oder z= -3 oder z = i√2  oder z = -i√2

bei c) erst mal raten:  z=2   oder  z = -1und nach Polynomdivision hast du

z⁴ - z³ + z² - 3z - 6    =  (z-2)(z+1)*(z²+3)

also  z=2   oder  z = -1 oder z= i√3  oder z = -i√3

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danke kannst du villeicht zu  a) mit der Quadratischen Ergänzung zeigen wie man das macht ?

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Bei der Polynomdivision ist der Divisior  :(z-z0)

Ich rate also eine Nullstelle und trage es dann in z0 ein und berechne es nach div. Regeln?

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genau, soweit die Polynomdiv.

Das andere geht so:

z² + (3i - 2)z - 2 - 4i   = 0 

z² + (3i - 2)z   + (3/2*i - 1)² -     (3/2*i - 1)²  - 2 - 4i  = 0

(  z + (3/2*i - 1) ) ²  -     (3/2*i - 1)²  - 2 - 4i  = 0


(  z + (3/2*i - 1) ) ²    =  i + 3/4 

    

z + (3/2*i - 1)     =   ± ( 1+ 0,5i) 


z=2 -i  oder z = -2i 

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Müßte es nicht 3i-2 /2 sein anstatt 3/2*i ? und wieso wurde das z mit reingenommen?

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Rechne einfach nach:

(  z + (3/2*i - 1) ) ² 

mit der binomischen Formel

(a+b)² = a² + 2ab + b²ergibt sich hier :


z²  + 2* z * (3/2*i - 1) + (3/2*i - 1)2  .

Das passt.

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Soweit verstanden aber nur eine Sache wie kam in den Nenner das "i"?

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Das i ist nicht im Nenner, das soll 3/2 * i also  1,5i heißen.

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Wie kome ich von Wurzel ja aber wie aus i ? 

( ......) ²    =  i + 3/4  

 auf ?  ( 1+ 0,5i)danke im voraus

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(a+bi) ²    =  i + 3/4

a² - b² + 2abi =   i + 3/4

a² - b² = 3/4  und  2abi = i  also 2ab = 1 also b = 1/(2a)

a² - 1/(4a²) = 3/4 

4a⁴ - 1 = 3a²     

4a⁴ - 3a²    -1 = 0       | :4

a⁴ - 3/4 * a²    - 14  = 0  

a⁴ - 3/4 * a²  + ( 3/8 )²  -  ( 3/8 )²  -1/ 4  = 0  

( a² - 3/8 ) ²   =  25/64

a - 3/8  = ± 5/8 

a= 1 oder a= -1  wieder in  b = 1/(2a) einsetzten. Fertig!

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Bis zum Ende habe ichs gelöst aber ich weiß nicht in welche Gleichung ich es einsetzen muss.

Damit 1 +0,5i rauskommt

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Du hast doch jetzt a=1 und b=1/2

oder a = -1 und b= -1/2

und der Ansatz war doch  a+bi

Also sind die beiden Wurzeln aus  i + 3/4  ja    1+i     und  -1-i .