Lösung der Differentialgleichung x² y' = 2y²+xy. Was wählt man als Substitution?

Question

Was wählt man hier sinvollerweise als Substitution?

x² y^' = 2y² + xy

Teilt man durch x² und nimmt dann als Substitution den ganzen rechten Term?

Wie wähle ich eigentlich am sinnvollsten eine Substitution aus?

Answer 1

Ich würde an deiner Stelle y/x=z substituieren geht am besten. Du hast dann y' = 2z² + z

Du musst immer schauen ob sich z danach leicht ableiten lässt. Das würde ich als Kriterium wählen.

Ich kann dir ja schonmal sagen was herauskommt: y = -x/(2lnx)

Lösungsweg:

$$ \begin{array} { l } { x ^ { 2 } y ^ { \prime } = 2 y ^ { 2 } + x y } \\ { y ^ { \prime } = 2 \frac { y ^ { 2 } } { x ^ { 2 } } + \frac { y } { x } } \\ { z = \frac { y } { x } } \end{array} \\ \begin{array} { l } { y ^ { \prime } = 2 z ^ { 2 } + z } \\ { z = \frac { y } { x } } \\ { z = \frac { d z } { d x } = - y \frac { 1 } { x ^ { 2 } } + y ^ { \prime } \frac { 1 } { x } } \end{array} \\ \begin{array} { l } { z ^ { \prime } x + \frac { y } { x } = y ^ { \prime } } \\ { z ^ { \prime } x + z = y } \\ { z ^ { \prime } x + z = 2 z ^ { 2 } + z } \end{array} \\ \begin{array} { l } { z ^ { \prime } x = 2 z ^ { 2 } } \\ { \frac { d z } { d x } x = 2 z ^ { 2 } } \\ { \frac { 1 } { 2 z ^ { 2 } } d z = \frac { 1 } { x } d x } \end{array} \\ \begin{array} { l } { \int \frac { 1 } { 2 z ^ { 2 } } d z = \int \frac { 1 } { x } d x } \\ { - \frac { 1 } { 2 z } = \ln x } \\ { - \frac { 1 } { 2 \ln x } = \frac { y } { x } } \\ { - \frac { x } { 2 \ln x } = y } \end{array} $$

Comments

Danke, aber das Ergebnis soll laut Lösung sein:

y = - x / ( ln ( x² ) + C )

Ich habe aber auch Euer Ergebnis heraus!

Oh man, bin ich bl... ,das ist ja das Selbe. Sorry, habe meinen Fehler gefunden!!!

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Also der Term im Nenner mit ln (x²) lässt sich auch umformen zu:

ln (x²) = 2*ln(x) = 2lnx

Answer 2

Man teil die ganze Gleichung durch Y

x²y=2y²+xy    |/y

x²=2y+x        |-2y

x²-x=2y         | /2

(x²-x)/2=y

Comments

Ich glaube du hast den hochgestellten Strich beim 1. y vergessen^^