Wahrscheinlichkeitsrechnung: Reihenfolge leichter und schwerer Klausuren wählen und 2 nacheinander bestehen?

Question

Ich sitze schon etwas länger an folgender Aufgabe und komme nicht weiter. Ich hoffe mir kann jemand helfen?!

Ihr Mathematikprofessor hat folgende Regeln aufgestellt. Sie müssen an drei Prüfungsterminen an einer Klausur teilnehmen. Bei jedem dieser Termine haben Sie die Wahl zwischen einer leichten und einer schweren Klausur. Sie dürfen allerdings nicht zweimal hintereinander an einer leichten Klausur teilnehmen. Um die Gesamtprüfung zu bestehen, müssen Sie zweiaufeinanderfolgende Klausuren bestehen. In welcher Reihenfolge sollten Sie die Klausuren schreiben?

Zeigen Sie, dass Ihre Antwort unabhängig von der konkreten Höhe der Bestehenswahrscheinlichkeiten 0<p1<p2<1 korrekt ist, wobei p1
die Bestehenswahrscheinlichkeit für die schwerenKlausuren und p2 die Bestehenswahrscheinlichkeit für die leichten Klausuren sei.

für jede Hilfe und Tipp

Comments

Du kannst versuchen alle denkbaren Verläufe aufzuzählen und die Wahrscheinlichkeit für bestehen berechnen.

Folgendes ohne Anspruch auf Vollständigkeit. Auch die Interpretation (und Rechnung) musst du voraussichtlich noch korrigieren.

p1 = a

p2 = b

Teilnahme an L S L

P(bestehen) = b a 1 + (1-b) a b . Wenn die ersten beiden bestanden sind, ist die 3. egal. + (erste fail und dann beide bestehen). 

Teilnahme an L S S

P(bestehen) = b a 1  + (1-b) a a . Wenn die ersten beiden bestanden sind, ist die 3. egal. + (erste fail und dann beide bestehen). hier macht man es sich absichtlich schwer.

Teilnahme an S L S

P(bestehen) = a b 1 + (1-a) b a . Wenn die ersten beiden bestanden sind, ist die 3. egal. + (erste fail und dann beide bestehen). 

Teilnahme an S S L

P(bestehen) = a*a*1 + (1-a)*a*b Wenn die ersten beiden bestanden sind, ist die 3. egal. + (erste fail und dann beide bestehen). 

Teilnahme an S S S

P(bestehen) = a*a*1 + (1-a)*a*a  Wenn die ersten beiden bestanden sind, ist die 3. egal. + (erste fail und dann beide bestehen). hier macht man es sich absichtlich schwer.

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Möglichkeit, vielleicht ein paar Fälle einzusparen:

Die mittlere Klausur musst du bestehen und dann noch eine der beiden andern.

Das wieder systematisch aufschreiben.

Answer 1

Grundsätzlich gibt es die Möglichkeit folgende Klausurenreihenfolgen zu wählen:

LSL

LSS

SLS

SSL

SSS

Ich würde aus logischen Überlegungen ausschließen dass LSS Sinn macht wenn LSL sicher eine höhere Wahrscheinlichkeit bietet zu bestehen. Ebenso würde ich SSS ausschließen.

Bleibt eigentlich nur mal zwei Fälle zu untersuchen.

LSL

SLS

Die Wahrscheinlichkeiten zu bestehen sind.

P(LSL) = p2·p1·p2 + p2·p1·(1 - p2) + (1 - p2)·p1·p2 = 2·p1·p2 - p1·p2^2

P(SLS) = p1·p2·p1 + p1·p2·(1 - p1) + (1 - p1)·p2·p1 = 2·p1·p2 - p1^2·p2

Wir vergleichen die Wahrscheinlichkeiten

2·p1·p2 - p1·p2^2 < 2·p1·p2 - p1^2·p2

p1^2·p2 < p1·p2^2

p1 < p2

Damit besteht man SLS mit einer höheren Wahrscheinlichkeit als LSL.