Die Diffenrialgleichung der Form $$P(x,y)+Q(x,y)y'=0$$ ist exakt genau dann, wenn gilt $$P_y=Q_x$$
Die allgemeine Lösung der Differentialgleichung ist $$F(x,y)=C$$
Bei der Differnetialgleichung $$y^2-7+2xyy'=0$$ haben wir $$P(x,y)=y^2-7 \ \text{ und } \ Q(x,y)=2xy$$
Die partiellen Ableitungen sind $$P_y=\frac{\partial}{\partial{y}}(y^2-7)=2y \ \text{ und } \ Q_x=\frac{\partial}{\partial{x}}(2xy)=2y $$ Es gilt also $$P_y=Q_x$$ Die Differentialgleichung ist also exakt.
Wir müssen also die Stammfunktion F(x,y) bestimmen, für welche $$F_x=P \ \text{ und } \ F_y=Q$$ gilt.
Wir starten mit der Bedingung $$F_x=P \Rightarrow F_x=y^2-7$$ Integration nach x liefert $$F(x,y)=\left(y^2-7\right)x+\phi (y)$$ wobei φ(y) eine beliebige Funktion von y ist.
Von Fy=Q bekommen wir folgendes: $$\frac{\partial}{\partial{y}}\left(\left(y^2-7\right)x+\phi (y)\right)=2xy \\ \Rightarrow 2yx+\phi' (y)=2xy \\ \Rightarrow \phi' (y)=0 \\ \phi (y)=0$$
Damit ist $$F(x,y)=\left(y^2-7\right)x=C$$ die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.
