Zeigen Sie, dass α durch diese beiden Bilder eindeutig bestimmt ist!

Question

Sei $V:=\mathbb{R}^{2}$ und sei $\alpha: V \rightarrow V$ eine $\mathbb{R}$-lineare Abbildung, die folgende Eigenschaft hat: $(1,1)^{\alpha}=(-1,1)$ und $(1,-1)^{\alpha}=(-1,-1)$
(a) Zeigen Sie, dass $\alpha$ durch diese beiden Bilder eindeutig bestimmt ist!
(b) Berechnen Sie die Bilder der Vektoren $(1,0)$ und $(0,1)$ !
(c) Sei $\hat{B}$ die geordnete Standardbasis von $V$. Berechnen Sie die Matrix $\mathcal{M}(\alpha, \hat{B}, \hat{B})$ und bestimmen Sie die Eigenwerte von $\alpha$ in $\mathbb{R}$ !
(d) Zeigen Sie, dass $\alpha$ bijektiv ist, und bestimmen Sie die Umkehrabbildung!
(e) Ist $\alpha$ diagonalisierbar?
(f) Beschreiben Sie $\alpha$ geometrisch! (Kurz.)