Kurvenintegral. Positiv orientierter Rand jenes Bereiches B ist begrenzt von ....

Question

ich hab ein Problem. Leider ist unsere Vorlesung eher etwas bescheiden, von daher hatten wir nie besprochen, wie man Kurvenintegrale der folgenen Art löst. Wenn mir vielleicht jemand weiterhelfen würde, wäre das super.

Die Aufgabe ist:
Man berechne das Kurvenintegral

$$K\quad =\quad \int _{ \partial B }{ (x{ y }^{ 2 }dx\quad +\quad xydy) } $$

wobei der positiv orientierte Rand jenes Bereiches B ist, de von 

a) $$ \sqrt { 2x\quad -\quad { x }^{ 2 } } für\quad 0\quad \le \quad x\quad \le \quad 2$$

b) $$0\quad für\quad 0\quad \le \quad x\quad \le \quad 4$$

c)$$ \sqrt { 4x\quad -\quad { x }^{ 2 } } für\quad 0\quad \le \quad x\quad \le \quad 4$$

begrenzt wird.

Hoffe jemand kann mir etwas weiter helfen. 
Einen schönen Abend noch.

Liebe Grüße

Comments

Leider ist unsere Vorlesung eher etwas bescheiden, von daher hatten wir nie besprochen, wie man Kurvenintegrale der folgenen Art löst.

Ach, das glaube ich nicht. Es wurde sicher in der Vorlesung die Definition eines Kurvenintegrals gegeben. Die musst Du jetzt bloss aus Deinen Unterlagen fischen und auf die konkreten Faelle anwenden.

Deine Beschreibungen der Bereiche B sind ziemlich missraten. Korrigier das mal. Wenn Du das hast, machst Du Skizzen der Bereiche.

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Ne wirklich, im normalfall würde ich sofort zugeben, das ich zu dusselig bin, aber unser Prof hat die letzten male lediglich Mathematica vorgestellt und vorher haben wir zuletzt Wikipedia Artikel zum Gaußschen Integralsatz und zum Integralsatz von Stokes angeworfen. (Ja wir haben uns schon beschwert ^^)

Einzigen Fehler den ich sehen kann, ist, dass x größer gleich 2 ist und nicht 0 ist. Der rest ist aber einz zu eins vom Aufgabenzettel!

Ich muss mich dann mal schlau machen, wie ich die Skizziere!

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Achso und ich hab "∂B" vergessen: sollte also heißen: "wobei ∂B der positiv orientierte Rand jenes Bereiches B ist, der von "

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Was auf dem Zettel wirklich steht, ueberlasse ich Dir. Womoeglich handelt es sich nicht um drei Aufgabenteile, sondern um drei Randgraphen für ein B? Wenn Du Dich erst schlau machen musst, wie man die skizziert, dann faellt mir auch nichts mehr ein.

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Ja sorry stell mich heut etwas langsam an. xD Ist warm und hatte bis eben ein Praktikum ^^

Nicht die schönsten Skizzen aber ich sehe halt, dass es zwei halbe Elipsen. Einmal von 0 - 2 und einmal von 0 - 4 . ( b) ist halt konstant 0 von 2 - 4)

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Die drei Graphen da sind der Rand von \(B,\) \(B\) selber ist das innere Gebiet; das wird aber für die Aufgabe nicht weiter gebraucht. Gebraucht werden Parametrisierungen der drei Randkurven in der Form \(x=\phi_k(t)\) und \(y=\psi_k(t)\) für \(k=1,2,3\).

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Auch in der gefahr, das ich es mir zu einfach mache...aber: 

bei b) könnte man ja auch Phi (t) = t und Psi (t) = 0 für k = 1,2,3 und t in [2,4] nehmen

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\(k\) ist der Index für das Kurvenstueck, es gibt davon drei hier, Du sollst aber nicht gedankenlos ueberall \(k=1,2,3\) dranklatschen! Und Dein \(t\in[0,2\pi]\) ist arg daneben, das ist doch hier keine Kreisparametrisierung mit Sinus und Kosinus. Der erste Bogen etwa hat die Parametrisierung \(x=\phi_1(t)=t\) und  \(y=\psi_1(t)=\sqrt{2t-t^2}\) mit \(t\in[0,2]\). Wenn Du den Rest richtig aufgeschrieben hast, musst Du noch die Durchlaufrichtungen Deiner(!) Parametrisierungen in der Skizze eintragen.

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Macht Sinn. (So langsam raff ich auch endlich (ja hat lang genug gedauert - bin nicht der schnellste) was hier mit "Rand gemeint ist".

So hätte ich das jetzt gewählt 

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Das ist die positive Durchlaufrichtung für das Kurvenintegral. Checken muesstest Du jetzt aber, was Deine aufgeschriebenen Parametrisierungen für eine Durchlaufrichtung haben. Oder meinst Du, die ist automatisch immer passend?

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Also ich weiß nicht ob ich das mit der Durchlaufrichtung richtig verstanden habe,aber ich würde natürlich sagen nein und ich meine auch, zu wissen wo es nicht passt. Ich denke es passt bei c) also dem dritten Bogen (Dort ist eben die Durchlaufrichtung gleich wie beim ersten Bogen, denke ich). Ich bin mir nur nicht sicher, wie ich da die Parametriesierung wählen könnte, damit es passt.

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Man laesst in solchen Faellen die natuerliche Parameterdarstellung stehen und aendert spaeter ein Vorzeichen.

Also: \(\partial B\) ist jetzt in drei Boegen \(\Gamma_1, \Gamma_2, \Gamma_3\), für die wir Parametrisierungen haben, zerlegt. Das macht $$\int_{\partial B}=\int_{\Gamma_1}+\int_{\Gamma_2}+\int_{\Gamma_3}$$ und Du musst die Parametrisierungen bloss noch eintragen. Da die für \(\Gamma_3\) die falsche Durchlaufrichtung hat, aenderst Du zusammen mit dem Eintragen das Vorzeichen auf Minus.