Komplexe Zahl in Exponentialform in cartesische Form umwandeln

Question

Wie gehe ich vor, um z = 6e^i2π/3 in die cartesische Form umzuwandeln? Und wie genau gehe ich hierbei mit dem pi-Teil um?

Answer 1

Schau mal bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Formel

z = 6e^i2π/3   = 6* ( cos(2π/3 ) + i *sin(2π/3 ))

= 6* ( -0,5 + i *0,5*√3 )

= -3+ i * 3√3 

= ( -3 ;  3√3  )

Comments

cos(2π/3) ist laut meinem Taschenrechner 0,999999. Wie kommst du auf -0,3?

Habe im Lösungsbogen die andgültige Lösung der AUfgabe gefunden: da kommt -3 + i•und so weiter heraus. Also ein anderer Realteil als in Ihrer Lösung?

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@ Andurs

Du hast deinen Rechner im Gradmaß stehen und musst ihn ins Bogenmaß (RAD) umstellen.

Dein Lösungsbuch hat recht: 6 * cos(2π/3) = 6 * (-0,5) = -3

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@ Mathef

6* ( cos(2π/3 ) + i *sin(2π/3 )) 

= 6* ( - 0,3 + i *0,5*√3 )

= - 2 + i * 3√3 

 cos(2π/3 ) = - 0,5

und  6 * (- 0,3)  wäre  -1,8  

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Oh ha, wieder etwas schnell gerechnet.

Danke, ich korrigiere.

Answer 2

Hallo Andrus,

Der Pi-Teil gehört zum Winkel im Bogenmaß(eventuell Taschenrechner auf Bogenmaß stellen).


Deine komplexe Zahl in Polarform ist \( r \cdot e^{i\varphi} \) mit \( r = 6 \) und dem Winkel im Bogenmaß \( \varphi = \frac{2 \pi}{3}  \).

Benutze folgende Gleichungen zur Umwandlung:
$$z = r \cdot e^{i\varphi}\\x = r \cdot cos(\varphi), y = r \cdot sin(\varphi)\\z = x + iy$$
Dann kann es losgehen.
$$cos \left( \frac{2 \pi}{3} \right) = -0.5 \\sin\left( \frac{2 \pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\x = r \cdot cos(\varphi) = 6 \cdot(-0.5) = -3 \\y = r \cdot sin(\varphi)= 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3} \\z = x + iy = -3 + 3 \ i\ \sqrt{3}$$

Comments

Lösung des Realteils ist -3

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Ja, das ist richtig. Habe ich oben auch, x = -3. Ich hatte ausversehen den Wert von cos(2 pi/3) genommen. :D

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P.S. hab es jetzt korrigert.