Verständnisfrage zur Berechnungen des Konvergenzradius

Question

ich habe eine kurze Frage zur Berechnungen des Konvergenzradius. Wie steht der Entwicklungspunkt mit dem Konvergenzradius in Beziehung. Angenommen ich habe mit dem Quotienkriterium nun den Wert 1/2 also 2 raus und der Entwicklungspunkt ist 2. Was spielt denn nun der Entwicklungspunkt für eine Rolle und wie fahre ich fort?

Was wenn der Entwicklungspunkt in unserem Beispiel -2 wäre?

Danke

Comments

Hallo Gast ii6944! :-)

"Wie steht der Entwicklungspunkt mit dem Konvergenzradius in Beziehung."

Wird z.B. hier beschrieben

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergenzradius#Einfluss_des_Entwicklungspunktes_auf_den_Konvergenzradius

Der Entwicklungspunkt hat auch auf das Konvergenzintervall Einfluss. Betrachten wir z.B. die geometrischen Reihen

\( \sum_{n=0}^{\infty}x^n \) mit dem  Entwicklungspunkt \( x_0 = 0 \),

\( \sum_{n=0}^{\infty}(x-10)^n \) mit dem Entwicklungspunkt \( x_0 = 10 \) und

\( \sum_{n=0}^{\infty}(x-(-10)^n \) mit dem  Entwicklungspunkt \( x_0 = -10 \).

\( \sum_{n=0}^{\infty}x^n \) konvergiert für alle \( |x|<1\), das Konvergenzintervall ist \( (-1, 1) \).

\( \sum_{n=0}^{\infty}(x-10)^n \) konvergiert für alle \( |x-10|<1\), das Konvergenzintervall ist \( (9, 11) \).

\( \sum_{n=0}^{\infty}(x-(-10)^n \) konvergiert für alle \( |x+10|<1\), das Konvergenzintervall ist \( (-11, -9) \).

Wie Du siehst, bleibt in diesen Beispielen der Konvergenzradius gleich, aber das Konvergenzintervall verschiebt sich in Abhängigkeit vom Entwicklungspunkt. Vielleicht hast Du das gemeint?

Beste Grüße
gorgar

Answer 1

Eine Potenzreihenentwicklung mit Entwicklungspunkt b sieht folgendermassen aus:

f(x) =a_(0) +  a_(1) (x-b)^1 + a_(2) (x-b)^2 + a_(3) (x-b)^2 + .....

Die a_(i) brauchst du, um den Konvergenzradius r auszurechnen.

b gibt die Mitte des Konvergenzbereichs vor (irgendwo musst du ja den Zirkel einstecken, wenn du einen Kreis mit Radius r zeichnen sollst).