Welches von allen Rechtecken mit 50cm Diagonalenlänge hat den größten Flächeninhalt? (Extremwertprobleme)

Question

Mein Ansatz war wie folgt:

1). A=a*b

2). D=Wurzel aus a^2*b^2 bzw. 50=D

3.)Dannach habe ich nach a aufgelöst und hatte Wurzel aus 50^2-b^2 raus und jetzt muss ich eigentlich nur A=b* Wurzel aus 50^2-b^2 vereinfachen und daraus die erste Ableitung bilden die wäre -b^3 und das kann nicht sein da ich daraus ja keine Nullstelle berechnen kann.

hat wer einen weisen Rat für mich und könnte mir helfen?

MFG

Comments

Du machst widersprüche... Beim zweiten schreibst du D^2 = a^2 * b^2, während du nach dem Umstellen auf a^2 = 50^2 - b^2 kommst.

Entsprechend Pythagoras müsste die Diagonale D^2 = a^2 + b^2 sein und nicht D^2 = a^2 * b^2.

Dies so nebenbei, auch wenns nicht wirklich zur Lösungsfindung beihilft.

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ich habe mich einfach dort vertippt sry ich bin auch nur ein mensch :D

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" wow danke ich habe die Aufgabe schließlich anders gelöst und zwar habe ich bei Wurzel aus 50²*b²-b⁴ nur den Radikanden genommen daraus die 1.) ableitung gemacht und somit A'(b)=0 gesetzt um somit zur guter letzt die Nullstellen zu berechnen und zwar 35,3, habe außerdem daraufhin die Lehrerin gefragt und sie meinte es seie richtig... aber ich danke trozdem für eure Vorschläge. "

Sehr gut. D.h. du hast hier selbst schon das Quadrat der Zielfunktion (statt der Zielfunktion ) betrachtet. Das ist im Prinzip wieder dasselbe wie bei deiner Aufgabe von heute .

f ( b ) = b·√( 50² - b² ) 

f^2(b) = b^2 * (50 - b^2) = 50b^2 - b^4 . 

Nun hast du abgeleitet usw. 

Answer 1

Eine ausführliche Rechnung
f ( b ) = b·√( 50² - b² )
f ( b ) = √ [ b^2 * ( 50² - b² ) ]
f ( b ) = √ [ 50^2 * b^2 - b^4  ]
ersetzen b^2 = x
f ( x ) = √ ( 50^2 * x - x^2  )
Ableitung allgemein
( √ term ) ´ = ( term ´ ) / ( 2 * √ term  )

f ( x ) = √ ( 50^2 * x - x^2  )
[ f ( x ) ] ´ = ( 50^2 * - 2 * x  ) / ( 2 * √ ( 50^2 * x - x^2  ) )
Für einen Extremwert interessiert nur
( 50^2 - 2 * x  ) / ( 2 * √ ( 50^2 * x - x^2  ) )  = 0
Diese Gleichung ist 0 wenn der Zähler 0 ist
50^2  - 2 * x = 0
2 * x = 50^2
x = 1250
zurückersetzen
x = b^2 = 1250 = 25^2 * 2
b = 25 * √ 2

Comments

Du könntest doch deine (von Werner) ausgezeichnete Methode auch hier anwenden.

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warum kann man b^2 einfach mit x ersetzen?

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Ersetzen gehört mit zu den Grundtechniken.
Wenn du nachher wieder zurückersetzt
ist die Sache in Ordnung.

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wie sehe es denn aus wenn ich nicht ersetze? ich bin gerade ab der 1. ableitung am rätseln ich verstehe die schritte danach nicht

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georgborn verwendet dort die Kettenregel. Den Begriff kann man googeln, der sollte aber in deinem Heft stehen, wenn du überhaupt ableiten sollst. Bsp.

https://de.wikipedia.org/wiki/Kettenregel#Mathematische_Formulierung 

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wenn du überhaupt ableiten sollst

Meint wohl : Das halbe Rechteck ist ein Dreieck mit der Diagonale als Durchmesser im Thaleskreis und bekommt maximalen Flächeninhalt wenn seine Höhe gleich dem Radius dieses Kreises ist, was dann letztlich zu einem Quadrat mit der Seitenlänge a = D/√2 führt.

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warum kann man b² einfach mit x ersetzen?

Die entscheidende Begründung hat Georg nicht genannt.
Sie lautet :  Man kann das im vorliegenden Fall machen, weil die Quadrat-Funktion im hier interessierenden Intervall monoton ist.

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wow danke ich habe die Aufgabe schließlich anders gelöst und zwar habe ich bei Wurzel aus 50²*b²-b⁴ nur den Radikanten genommen daraus die 1.) ableitung gemacht und somit A'(b)=0 gesetzt um somit zur guter letzt die Nullstellen zu berechnen und zwar 35,3, habe außerdem daraufhin die Lehrerin gefragt und sie meinte es seie richtig... aber ich danke trozdem für eure Vorschläge.

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f ( b ) = √ [ 50² * b² - b⁴  ]
Wurzel aus 50²*b²-b⁴ nur den Radikanten
genommen.
Das ist richtig und eine Vereinfachung
der Berechnungen.
Die beiden Funktionen
f ( b ) = √ [ 50² * b² - b⁴  ]
und
f ( b ) = 50² * b² - b⁴ 
haben an derselben Stelle
den Extrempunkt.
Deshalb gilt auch
( 50² * b² - b⁴   ) ´ = 0
2 * 50^2 * b - 4 * b^3 = 0
b * ( 2 * 50^2 - 4 *b^2 ) = 0
Satz vom Nullprodukt
b = 0
und
2 * 50^2 - 4 * b^2 = 0
b^2 = 2 * 50^2 / 4 = 1250
b = 35.36

Aufgrund deiner haarsträubenden
eigenen Lösung
A=b* Wurzel aus 50²-b² vereinfachen und
daraus die erste Ableitung bilden die
wäre -b³
hatte ich etwas ausführlicher geantwortet.

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kein problem, wie gesagt vielen Dank :) . Dieses Forum ist echt gut, ich lerne hier teilweise mehr als im mathe LK aber das liegt auch wahrscheinlich am trostlosen Thema:"Steckbriefaufgaben bzw. Extremwertprobleme". falls irgendwer noch tipps zu den thema hätte wäre ich dankbar weil demnächst meine Klausur ansteht ich bearbeite währenddessen andere Aufgaben und werde mich bei nächsten Unklarheiten wieder melden..

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Falls du Aufgaben suchst nebst
Unterrichtsstunden und Lösungen
dann schaue einmal unter

http://www.abiturloesung.de/

nach. Mir hat dies sehr geholfen.

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Eine einfache Lösung findet man auch
mit dem Thaleskreis.

Das Dreieck verdoppelt ergibt ein Rechteck.
Anstelle nach einem Rechteck zufragen kann
auch die Frage nach dem flächengrößten
Dreieck stellen.
A ( Dreieck ) = 50 * h / 2
A ( Rechteck ) = 50 * h
h ist am größten am obersten Punkt des Kreises
Dort sind die Katheten a = b.
Es ergibt sich ein Quadrat als Lösung.

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Hattest du nicht einmal gesagt, dass du meine Kommentare nicht mehr lesen würdest ?

Schön, dass du dich anders entschieden hast und sogar etwas aus ihnen lernst.

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was quasselst du da? ich habe niemals irgendendwas desgleichen  behauptet. Ich bin hier um Fragen zu stellen und nicht um irgendein unnötigen Streit anzufangen. Außerdem wurde diese Frage schon längst beantwortet. Dabei kenne ich dich noch nicht mal. Also entweder liegt hier ein Missverständnis vor, oder du bist ein "Lügenbaron" !

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Hallo mathelauch,
damit keine Mißverständnisse aufkommen.
Bezog sich dein hier drüber stehender
Kommentar auf mich
oder
auf hj2166 ?

Bitte mitteilen.

mfg Georg

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"was quasselst du da? ich habe niemals irgendendwas desgleichen  behauptet. Ich bin hier um Fragen zu stellen und nicht um irgendein unnötigen Streit anzufangen. Außerdem wurde diese Frage schon längst beantwortet. Dabei kenne ich dich noch nicht mal. Also entweder liegt hier ein Missverständnis vor, oder du bist ein "Lügenbaron" ! "

das war auf Hj2166 bezogen, welcher irgendwas falsch interpretiert hat.

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Dann ist das geklärt.
hj2166 Kommentar war mir zugedacht
nicht dir.

  Hier zur Aufheiterung einen Witz : Ein BWL- ( Betriebswirtschaftslehre ), ein Physik- und ein Mathestudent wollen Ihr Zwischenexamen feiern und fliegen für ein paar Tage nach Mallorca.

  Bei der abendlichen Feier bricht im Hotel ein Feuer aus. Die Studenten haben aus Ihrem Zimmer keinen Fluchtweg mehr.
Zum Innenhof hin liegt ein Swimming-Pool der über den Balkon erreichbar wäre.

  Der BWL-Student klettert über das Balkongitter und springt ab. Voll daneben.

  Der Physikstudent setzt sich hin, rechnet etwas, klettert übers Balkongitter und springt ab.
Mitten in den Pool.

  Der Mathestudent rechnet noch länger, klettert übers Balkongitter, springt ab
und verschwindet nach oben. Als man seine Berechnungen später fand entdeckte man :
Vorzeichenfehler.

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ahahah der war gut :)

sry, hj2166. Ich habe in diversen Foren nämlich auch so Situationen erlebt, wo man einfach von Leuten aus Spaß heraus angemozt wird. Tut mir Leid ich bin sowas nämlich mitlerweile gewohnt.

Answer 2

Bis f(b)=b·√(50²-b²) ist alles richtig. Dann ist f '(b)=(50²-2b²)/√(50²-b²) mit der positiven Nullstelle b=25·√2.

Comments

wie kommst du von f(b)=b*wurzel aus 50²-b² auf f´(b)=50²-2b²: wurzel aus 50²-b² ?

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Setze h(b)=√(50²-b²)= (50²-b²)^1/2.

Dann ist h'(b)=1/2·(50²-b²)^-1/2·(-2b)=-b/(50²-b²)^1/2.(Kettemregel)

Außerdem ist f(b)=b·√(50²-b²)=b·h(b) und f '(b)=h(b)+b·h'(b) (Produktregel)

Jetzt noch h(b)und h'(b) einsetzen und auf den Hauptnenner bringen.