Mittelwerte. Zeige, dass folgende Ungleichung gilt. a^2 ≤ ((2ab):(a+b))2

Question

Seien a,b ∈ℝ mit 0<a≤b.

Zeige, dass gilt:

a² ≤ ((2ab):(a+b))²

Wie genau kann ich dies nun beweisen? Ich muss noch mehr Ungleichungen mit der gleichen Voraussetzung beweisen, habe aber nicht wirklich eine Idee wie ich das tun soll. Deshalb wäre es sehr nett wenn mir jemand anhand von diesem Beispiel zeigen könnte, wie ich die Aufgabe lösen kann.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Ungleichungskette verschiedener Mittelwerte beweisen

Stichworte: mittelwert,ungleichung,vergleich,beweis,zeigen,analysis

Hallo :)

Ich soll folgende Aufgabe bearbeiten.

Meine Lösungsstrategie wäre gewesen die Ungleichungskette auseinander zu teilen also a² <- H dann H <- G etc. Allerdings stoße ich da beim Umformen schnell auf Probleme weil ich nicht zeigen kann, dass die Terme dann wirklich kleiner sind als 0. (Wenn ich z.B a² - H² rechne in einer Ungleichung).

Hätte jemand eine Idee wie ich das lösen könnte? ^^

für Antworten.

---

Die erste Ungleichung findest du hier :

https://www.mathelounge.de/480270/zeige-dass-folgende-ungleichung-gilt

---

Danke :) Hat mir geholfen und konnte den Rest der Aufgabe sogar alleine lösen ^^

Answer 1

0<a≤b.

a² ≤ ((2ab):(a+b))²        weil nichts negativ ist, wurzel ziehen

<=> a ≤ (2ab):(a+b)   | *(a+b)

<=>  a(a+b) ≤ 2ab

<=>  a² +ab ≤ 2ab

<=>  a² ≤ ab   | : a weil a>0

<=>  a ≤ b   lt. Vor. erfüllt. q.e.d.

 

Comments

Danke, ich habe jetzt schon 2 andere Gleichungen mit Hilfe deines Beispiels oben beweisen können. Nun scheitert es jedoch an einer letzten Ungleichung.

((2ab):(a+b))² ≤ (√ab)<sup>2

Wenn ich wie oben rechne, dann habe ich entweder eine Wurzel die ich nicht weg bekomme auf der rechten Seite oder auf der linken Seite einen Term der sich kaum vereinfachen lässt. Hast du irgendeinen Tipp für mich wie ich dieses Problem lösen kann? :)</sup>

---

((2ab):(a+b))² ≤ (√ab)²     

<=> (2ab):(a+b) ≤ √(ab)     | * (a+b)

<=>   2ab  ≤ √(ab) *(a+b)  | :√(ab) 

<=>   2√(ab)   ≤ a+b    | - 2√(ab) 

<=> 0  ≤ a  - 2√(ab)   +b   

<=> 0  ≤ a  - 2√a√b   +b    bino. Formel

< => 0 ≤  ( √a - √b ) ²  

Und das stimmt, weil Quadrate nie negativ sind.  

Answer 2

 Es gilt dass $$a\leq b \Rightarrow a+b\leq b+b \Rightarrow a+b\leq 2b \Rightarrow \frac{1}{a+b}\geq \frac{1}{ba} \Rightarrow \left(\frac{1}{a+b}\right)^2\geq \left(\frac{1}{2b} \right)^2 \\ \Rightarrow \frac{1}{(a+b)^2}\geq \frac{1}{4b^2}$$

Wir haben also folgendes $$\left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2=\frac{4a^2b^2}{(a+b)^2}\Rightarrow 4a^2b^2\cdot \frac{1}{(a+b)^2}\geq 4a^2b^2\cdot \frac{1}{4b^2}=a^2 \\ \Rightarrow \left(\frac{2ab}{a+b}\right)^2\geq a^2$$

Answer 3

da a<=b ist und a,b>0 gilt auf jeden Fall

$$ a^2<=ab |+ab\\a^2+ab<=2ab\\a(a+b)<=2ab|:(a+b)>0\\a<=\frac { 2ab }{ a+b }|(...)^2\\a^2<=(\frac { 2ab }{ a+b })^2 $$