Zeige \arctan ^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}

Question

Aufgabe:

Zeigen Sie \( \arctan ^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \) für \( x \in \mathbb{R} \).

Answer 1

Aloha :)

Die \(\arctan\)-Funktion und die \(\tan\)-Funktion heben ihre Wirkung gegenseitig auf:$$\tan(\arctan(x))=x$$Wir leiten beide Seiten nach \(x\) ab und verwenden auf der linken Seite die Kettenregel. Dazu erinnern wir uns, dass für die Ableitung des Tangens gilt: \((\tan x)'=1+\tan^2x\):$$\underbrace{(1+\tan^2(\arctan(x))}_{=\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\arctan'(x)}_{\text{=innere Abl.}}=1$$$$(1+x^2)\cdot\arctan'(x)=1$$$$\arctan'(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

Answer 2

Es ist \(\tan(x)'=(\frac{\sin(x)}{\cos(x)})' =\frac{\cos(x)\cos(x)-(\sin(x))(-\sin(x))}{\cos(x)^2}=...=1+\tan(x)^2\)

Nun benutze die Formel für die Ableitung einer Umkehrfunktion.