Arithmetisches und geometrisches Mittel. Zeige q ≤ (a+b)/2 .

Question

PKann mir jemand einen Tipp geben Kann mir jemanf helfen?

Answer 1

Es geht auch rein geometrisch:

Man nehme den Thaleskreis. Dann ist der Durchmesser AB= a+b die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ABC mit C auf dem Halbkreisbogen (Satz des Thales). Wir wählen C so, dass die beiden Hypotenusenabschnitte genau a und b sind, also die Zahlen deren Mittelwerte verglichen werden sollen. Dann ist der Radius des Thaleskreises gleich dem arithmetischen Mittel und die Höhe des Dreiecks gleich dem geometrischen Mittel (Höhensatz von Euklid). Arithmetisches Mittel und geometrisches Mittel sind genau dann gleich, wenn die Höhe der Dreiecks ABC gerade der Radius des Halbkreises ist, als a=b gilt-

Answer 2

(a - b)² ≥ 0 

2. bnomische Formel:

⇔  a² - 2ab + b² ≥ 0    | + 4ab      ( Edit: statt  2ab)

⇔  a² + 2ab + b² ≥  4ab

1. binomische Formel: 

⇔ (a + b)² ≥ 4ab     |  √

⇔ |a + b|    ≥ 2 • √(ab)     [ ab ≥0 ]

wegen a,b ≥ 0 gilt   |a + b| = a + b  :

⇔  a + b  ≥ 2 • √(ab)  | : 2           

(a + b) / 2  ≥  √(ab)  (= q) 

Zusatzfrage:

a,b ≥0

Für  a = b  sind aritmetisches und geometrisches Mittel sinnvollerweise gleich:

a+b / 2 = 2a/2 = a = √a² = √(a•b)

Das ist mit a,b ≥0  auch die einzige Möglichkeit, weil man die obenstehende Rechnung (für ... = ... ) rückwärts durchführen kann:

(a + b) / 2  =  √(ab)  ⇔  ...  ⇔ (a - b)² =  0  ⇔ a = b

Gruß Wolfgang

Comments

@ Wolfgang, du schreibst "a² - 2ab + b² ≥ 0    | + 2ab"

Muss es nicht " a² - 2ab + b² ≥ 0    | + 4ab " heißen und dann so weitergehen:

a² +2ab + b² ≥ 4ab

((a + b)²)/4 ≥ ab.  Für positive Zahlen a und b gilt dann

(a+b)/2 ≥ √(ab)

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Sehe ich auch so.

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Nur eine kleine Anmerkung. Ich persönlich finde es immer günstig mit dem anzufangen was zu zeigen ist und das in eine wahre Aussage zu verwandeln. Ich schreibe das ganze also nur umgekehrt auf. Darauf hat Wolfgang ja oben auch bereits hingewiesen, dass man es auch umgekehrt notieren kann.

q ≤ (a + b)/2

Ich mag keine Brüche. Was kann ich tun?

2·q ≤ a + b

Warum darf ich hier einfach quadrieren ?

(2·q)^2 ≤ (a + b)^2

4·q^2 ≤ a^2 + 2·a·b + b^2

Wir wissen q^2 = a·b

4·a·b ≤ a^2 + 2·a·b + b^2

0 ≤ a^2 - 2·a·b + b^2

0 ≤ (a - b)^2

(a - b)^2 ≥ 0

Ein Quadrat einer reellen Zahl ist nie negativ und damit ist die Gleichung erfüllt.

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@Roland:

Danke für den Hinweis. Habe die Fehler beseitigt.

@XXXRuXXX

Sorry, da war beim "Hantieren" mit dem Paste  leider einiges misslungen.

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@Mathecoach Dein Beweis läuft unter dem Verfahrenstitel "Beweis durch Verifizieren". Ob man den bevorzugt, ist natürlich Geschmackssache. Polya nennt das auch "Rückwärts arbeiten" und meint damit eine heuristsche Strategie.

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Könntet ihr nur erklären warum man eine 0 setztt ind wann man quadrieren darf und warum sich das vorzeichen ändert☹️️

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Quadrieren von Gleichungen ist keine Äquivalenzumformung, aber es hilft, mögliche Lösungen zu finden. Eine Probe für jede Lösung ist unerlässlich.

Beim Quadrieren wird aus "minus" wegen (-1)·(-1)=+1 "plus".

Null setzt man, wenn Nullstellen gesucht sind. Oft löst man eine quadratische Gleichung nach Nullauf, weil dann die pq-Formel anwendbar wird.