Folgende Ungleichung zeigen: Für x > -1/6 gilt √(1+6x) ≤ (1+x)^3

Question

Hi ich muss die Folgende Ungleichung zeigen wahrscheinlich irgendwie mit dem geometrischen Mittel

für x > -1/6

√(1+6x)  ≤ (1+x)³

Wie kann ich das machen??? 

Comments

Es soll bestimmt so heißen
√ ( 1+6x )  ≤ (1+x)³

dann gilt schon einmal
1 + 6x > 0 ( sonst kein Wurzelziehen möglich
6x > -1
x > - 1/6

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Ich glaube du hast da falsch geschrieben, x muss >= -1/6 sein. Du hast x>-1/6 geschrieben, also Antwort gilt nicht.

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Mit deinem Hinweis hast du recht.

Wenn du dir ganze Diskussion aber anschaust ist dieser Aspekt
eher nebensächlich.

Answer 1

$$ \sqrt{1+6x}  ≤ (1+x)^3  $$
$$ 1+6x ≤ (1+x)^6  $$
$$ 1+6x \le x^6+6 x^5+15 x^4+20 x^3+15 x^2+6 x+1 $$
Prüfe auf Nulldurchgänge, um festzustellen, für welche x die Funktion negativ wird:$$ x^6+6 x^5+15 x^4+20 x^3+15 x^2 =0 $$
$$ x^2(x^4+6 x^3+15 x^2+20 x+15) =0$$
kann dieser Faktor weitere reelle Nullstellen besitzen ?
$$ x^4+6 x^3+15 x^2+20 x+15 =0$$

Comments

Das frage ich mich auch !
Im Moment wüßte ich nicht ob ein negatives x die Gleichung
doch erfüllen könnte.

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Teste einfach das noch zulässige -1/6

Das ist noch nicht unbedingt wasserdicht, aber das zeigt schon wo man liegt.

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Ich kann mir auch die Funktion
√( 1+6x ) und
( 1+x )³

von einem Funktionsplotter zeichnen lassen, dann
" sehe " ich sogar das die Wurzelfunktion unterhalb der hoch 3
Funktion ist.

Ich hätte aber gern den rechnerischen Beweis.
Mir ist dieser bisher noch nicht gelungen.

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Ausgehend von f(x)=(x+1)^6 kann man ja sagen, dass diese Funktion nie negativ wird.Die "einzige", allerdings sechsfache Nullstelle liegt bei x=-1. rechts von dieser Nullstelle ist die Funktion stetig steigend.

Davon subtrahiert wird die Geradengleichung g(x)=6x+1, die jedoch stets kleiner als f(x) ist und somit die Differenzfunktion h(x)=f(x)-g(x) niemals ins Negative bringen kann.

Für negative x erzeugt die Geradengleichung einen negativen Wert, der subtrahiert die Differenzfunktion positiver macht. Also trotz sinkender f-Werte steigt h im bereich negativer x, wodurch eine weitere Nullstelle ausgeschlossen wird. Hier genügt es auch nur den Bereich bis zur Nullstelle von f zu betrachten - das ist schon mehr als der Definitionsbereich der ursprünglichen Aufgabenstellung erlaubt.

Damit wäre Cardano umschifft ...

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@georgborn: Es geht also nur noch darum, zu zeigen, dass \(x^4+6x^3+15x^2+20x+15=0\) keine Lösung besitzt (in \(\mathbb{R}\))?
Du kannst einfach die Funktion \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto x^4+6x^3+15x^2+20x+15\) auf lokale Extrema überprüfen. Wegen \(\lim_{x\to\infty}=\lim_{x\to -\infty}=\infty\) kannst du damit dann erkennen, ob die Funktion irgendwo negativ ist oder nicht.

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Die Ableitung von dem Monster ist leider noch immer Cardano-pflichtig. An die Extremumuntersuchung hab ich auch schon gedacht, aber erst der Wendepunkt lässt sich schulmathemathisch in den Griff bekommen.

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Nö, das ist ganz einfach: Eine Nullstelle der Ableitung kann man erraten; dass es keine weiteren Nullstellen geben kann, folgt daraus, dass die erste Ableitung streng monoton wachsend ist (was man mit der Positivität der zweiten Ableitung begründen kann).
Nix mit Cardano.

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Die Nullstelle der Ableitung ist irrational und daher nicht erratbar.

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Wenn ich jetzt nicht ganz doof bin, komme ich auf die Ableitung \(f'(x)=4x^3+18x^2+30x+20.\) Und es gilt: \(f'(-2)=4\cdot (-8)+18\cdot 4+30\cdot (-2)+20=-32+72-60+20=0\).
Oder ist neuerdings \(-2\not\in\mathbb{Q}\) ? ;-)

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Dann hab ich mich vorhin wohl vertippt ....

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@10001000nick1
Ich greife deine Beiträge auf.
Es geht darum zu zeigen

x^4 + 6x^3 + 15x^2 + 20x + 15 ≥ 0

Für lim x -> -∞ und lim x -> ∞ wird der Funktionswert +∞.
Die Funktion ist stetig.

Wenn jetzt gezeigt würde das die Funktionswerte
der Extremstellen alle > 0 sind wäre damit
der Beweis schon erbracht.

4*x^3 + 18x^2 + 30x + 20  = 0
Durch erraten ergibt sich zunächst x =-2
Weitere Nullstellen gibt es nicht.
( Dies wäre auch durch eine weitere Polynomdivision
feststellbar )

In die 1.Gleichung eingesetzt ergibt sich für x = -2
ein Funktionswert von 3. Also postiv. Die ganze
Funktion ist also stets positiv. Stimmt alles ?