Zeige, dass folgende Ungleichung gilt.

Question

Aufgabe:

Seien x,y,z∈ℝ⁺. Zeige, dass folgende Ungleichung gilt:

\( \frac{\sqrt{xy}}{x+y+2z} \)+\( \frac{\sqrt{yz}}{y+z+2x} \)+\( \frac{\sqrt{xz}}{x+z+2y} \)≤\( \frac{3}{4} \)

Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Aufgabe?

Answer 1

Es ist sogar jeder einzelne der 3 Summanden ≤\( \frac{1}{4} \).

Diese Summanden sind sogar dann noch ≤\( \frac{1}{4} \), wenn man duch Weglassen der Summanden 2z, 2x bzw 2y in den einzelnen Nennern die drei Brüche vergrößert.

PS:

Hallo abakus,
leider stimmt deine Aussage nicht:

wähle im ersten Summanden x=y=1, z=1/2.

Ermanus hat recht. Die abgeschätzen Summanden wie z.B. \(\frac{\sqrt{xy}}{x+y} \) sind lediglich ≤\( \frac{1}{2} \), sodass meine gewählte Abschätzung nicht funktioniert.

Comments

Hallo abakus,
leider stimmt deine Aussage nicht:

wähle im ersten Summanden x=y=1, z=1/2.