Zeige, dass folgende Ungleichung gilt.

Question

Aufgabe:

Seien x,y,z∈ℝ⁺. Zeige, dass folgende Ungleichung gilt:

$\frac{\sqrt{xy}}{x+y+2z}$+$\frac{\sqrt{yz}}{y+z+2x}$+$\frac{\sqrt{xz}}{x+z+2y}$≤$\frac{3}{4}$

Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Aufgabe?

Answer 1

Es ist sogar jeder einzelne der 3 Summanden ≤$\frac{1}{4}$.

Diese Summanden sind sogar dann noch ≤$\frac{1}{4}$, wenn man duch Weglassen der Summanden 2z, 2x bzw 2y in den einzelnen Nennern die drei Brüche vergrößert.

PS:

Hallo abakus,
leider stimmt deine Aussage nicht:

wähle im ersten Summanden x=y=1, z=1/2.

Ermanus hat recht. Die abgeschätzen Summanden wie z.B. $\frac{\sqrt{xy}}{x+y}$ sind lediglich ≤$\frac{1}{2}$, sodass meine gewählte Abschätzung nicht funktioniert.

Comments

Hallo abakus,
leider stimmt deine Aussage nicht:

wähle im ersten Summanden x=y=1, z=1/2.