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Aufgabe:

Seien x,y,z∈ℝ+. Zeige, dass folgende Ungleichung gilt:

xyx+y+2z \frac{\sqrt{xy}}{x+y+2z} +yzy+z+2x \frac{\sqrt{yz}}{y+z+2x} +xzx+z+2y \frac{\sqrt{xz}}{x+z+2y} 34 \frac{3}{4}


Problem/Ansatz:

Wie löst man diese Aufgabe?

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Es ist sogar jeder einzelne der 3 Summanden ≤14 \frac{1}{4} .

Diese Summanden sind sogar dann noch ≤14 \frac{1}{4} , wenn man duch Weglassen der Summanden 2z, 2x bzw 2y in den einzelnen Nennern die drei Brüche vergrößert.


PS:

Hallo abakus,
leider stimmt deine Aussage nicht:

wähle im ersten Summanden x=y=1, z=1/2.

Ermanus hat recht. Die abgeschätzen Summanden wie z.B. xyx+y\frac{\sqrt{xy}}{x+y} sind lediglich ≤12 \frac{1}{2} , sodass meine gewählte Abschätzung nicht funktioniert.

Avatar von 56 k 🚀

Hallo abakus,
leider stimmt deine Aussage nicht:

wähle im ersten Summanden x=y=1, z=1/2.

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