Zeigen Sie, dass 0 \pi für alle n ∈ ℕ_{0} gilt.

Question

Aufgabe

Aufgabe 16:
Die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) sei rekursiv gegeben durch
\( a_{n+1}=a_{n}+\frac{\sin \left(a_{n}\right)}{a_{n}}, \quad a_{0}=\frac{1}{2} \)
(a) Zeigen Sie, dass \( 0<a_{n}<\pi \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \) gilt.
(Hinweis: Sie können ohne Beweis verwenden, dass für \( x \in(0, \pi) \) die Ungleichung sin \( (x)<\pi x-x^{2} \) gilt.)
(b) Zeigen Sie, dass die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n} \) konvergiert und bestimmen Sie ihren Grenzwert.
Problem/Ansatz:

Answer 1

a) Induktion

b) Mit Induktion noch beweisen, dass die Folge monoton wächst. Nach Bolzano-Weierstrass folgt mit a) die Konvergenz.

Der Grenzwert muss dann \(a = a + \frac{\sin(a)}{a}\iff \sin(a)=0\) erfüllen.