Aloha :)
Es soll ein Oberflächenintegral über eine Kugeloberfläche bestimmt werden:$$I=\oiint\limits_{\partial K}\vec F(\vec r)\,d\vec f$$Der Kreis um die beiden Integrale zeigt an, dass es sich um eine geschlossene Oberfläche handelt. Der Index an dem Integral muss in der Aufgabenstellung eigentlich \(\partial K\) heißen, denn \(K\) ist in der Konvention die Kugel und \(\partial K\) ist der Rand der Kugel, also die Oberfläche.
Bei Integralen über geschlossene Oberflächen kann man mittels des Integralsatzes von Gauß zu einem Volumenintegral übergehen. Merke dir dazu: \(\left(d\vec f=dV\,\vec\nabla\right)\)$$I=\oiint\limits_{\partial K}d\vec f\,\vec F(\vec r)=\iiint\limits\limits_K(dV\,\vec\nabla)\vec F(\vec r)=\iiint\limits\limits_KdV\operatorname{div}\vec F(\vec r)$$
Wir beschreiben das Volumen(!) der Kugel mit Radius \(\sqrt2\) durch Kugelkoordinaten:$$dV=r^2\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta\quad;\quad r\in[0;\sqrt2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;\vartheta\in[0;\pi]$$und bestimmen die Divergenz des Vektorfeldes:$$\operatorname{div}\vec F(\vec r)=3x^2+3y^2+3z^2=3r^2$$Damit haben wir alles zusammen, was wir brauchen:$$I=\int\limits_{r=0}^{\sqrt2}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\,\int\limits_{\vartheta=0}^\pi\underbrace{3r^2}_{=\operatorname{div}\vec F}\,\underbrace{r^2\,\sin\vartheta\,dr\,d\varphi\,d\vartheta}_{=dV}=3\int\limits_{r=0}^{\sqrt2}r^4\,dr\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}d\varphi\int\limits_{\vartheta=0}^{\pi}\sin\vartheta\,d\vartheta$$$$\phantom I=3\cdot\left[\frac{r^5}{5}\right]_{r=0}^{\sqrt2}\cdot\left[\varphi\right]_0^{2\pi}\cdot\left[-\cos\vartheta\right]_{\vartheta=0}^\pi=3\cdot\frac{4\sqrt2}{5}\cdot2\pi\cdot(1+1)=\frac{48\sqrt2}{5}\,\pi$$
