Beweisen Sie die folgenden Aussagen? Ungleichung mit Produktzeichen

Question

Bitte loesen Sie mit Losungweg! Vielen Dank

Comments

a) ist ein Duplikat von https://www.mathelounge.de/476942/vollstandiger-induktion-zeigen-summenformel-quadratzahlen

Answer 1

zu 8a) siehe hier.

zu 8b): Beweis durch vollständige Induktion. Mit \(n=1\) stimmt die Ungleichung (bitte selber prüfen).

Der Übergang von \(n\) nach \(n+1\):

$$\prod \limits_{k=1}^{n+1} k^k = \prod \limits_{k=1}^n k^k \cdot (n+1)^{n+1} $$

$$\space= n^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot (n+1)^{n+1} \lt (n+1)^{\frac{n(n+1)}{2}} \cdot (n+1)^{n+1} = (n+1)^{\frac{(n+2)(n+1)}{2}}$$

und dies enspricht dem Term, wenn man in der gegeben Ungleichung das \(n\) durch \(n+1\) ersetzt.

Comments

Vielen fur Ihre Antworte! aber ich habe noch nicht teil b verstanden. koennen Sie eindeutiger loesen? 

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Alternativ : 

Für alle k = 1 .. n  ist   ln (k) ≤ ln (n)
sowie  ∑ [k = 1 .. n] k  =  n·(n+1) / 2
           (ist bekannt oder beweist sich analog zu Teil a.)

Daraus ergibt sich  
n·(n+1) / 2 · ln (n)  =  ln (n) · ∑ [k = 1 .. n] k
   =  ∑ [k = 1 .. n] ( k · ln (n) )
   ≥  ∑ [k = 1 .. n] ( k · ln (k) )

Logarithmengesetze anwenden :
ln ( n^{n·(n+1) / 2} )  ≥  ∑ [k = 1 .. n]  ln (k^k)
   =  ln ( ∏ [k = 1 .. n]  k^k )

Monotonie der exp-Funktion anwenden :
n^{n·(n+1) / 2}  ≥  ∏ [k = 1 .. n]  k^k