Es seien X,Y nichtleere Mengen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen: 1. Es gibt genau eine leere Menge, 2. ...

Question

Es seien X,Y nichtleere Mengen, A ⊂ X , B ⊂ Y und f : X → Y sei eine Abbildung. Fur jedes x ∈ X sei E(x) eine Eigenschaft. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

1.) Es gibt genau eine leere Menge.

2.) x ∈ ∅ ⇒ E(x)

3.) ∅ ⊂ X , ∅ ⊂ ∅.

4.) A × B = ∅ ⇒ A = ∅ ∨ B = ∅

5.) f (∅) = f^-1 (∅) = ∅.

Ich habe mir bis jetzt folgendes überlegt:

zu 1.) :

Zunächst ist es ja so, dass die leere Menge eine Teilmenge jeder beliebigen Menge ist. D.h., dass sie erst einmal in allen Mengen enthalten ist. Jetzt geht es ja darum, ob die leere Menge noch eine weitere Teilmenge hat. Ich würde erstmal sagen ja. Die leere Menge ist für mich eine Teilmenge der leeren Menge. Jetzt sind allerdings beide Mengen identisch. Man könnte das ganze jetzt unendlich weit zurückführen. Da immer dieselben (keine) Elemente enthalten sind, dürfte es also nur eine leere Menge geben oder? Und wie kann man das formal aufschreiben?

zu2.)

x soll Element der leeren Menge sein. Wie soll das gehen, wenn es keine Elemente gibt, die in der leeren Menge enthalten sein können? Also da komme ich schon gar nicht erst weiter.

zu 3.1)

die leere Menge soll echte Teilmenge von X sein. Klingt für mich erstmal logisch. Das würde bedeuten, dass mindestens 1 Element in X existiert, welches die leere Menge nicht enthält. Aber auch hier weiß ich noch nicht wie ich mir das aufschreiben soll.

bei 3.2) ist es etwas ähnlich. Nur leider kann ich da nicht wie in 3.1) argumentieren. Es muss doch ein Element geben was in der linken Menge enthalten sein muss, in der rechten jedoch nicht. Ich darf ja nicht schreiben:

{{}} ⊂ {{},{}}, da gleiche Elemente in einer Menge ja rausgekürzt werden müssen.

zu 4.) Was das kartesische Produkt ist weiß ich. Es können in einem Koordinatensystem z.B. alle Elemente von A eingetragen werden (x-Achse) und die von B(y-Achse). Die Punkte, linien bzw. die Fläche bei Intervallen zeichnet man sich dann einfach ein und erhält eine neue Menge. Es soll aber gar nichts von den drei Fällen zutreffen. Folglich darf ja auch einer der beiden Mengen nichts enthalten. Aber auch hier komme ich mit der Schreibweise nicht so ganz klar.

bei 5.) habe ich leider garkeine Ahnung. Muss da eventuell etwas mit der Identität gezeigt werden?

Würde mich sehr über hilfreiche Tipps freuen. Noch viel mehr über Lösungsansätze, wie ich da denn bei den verschiedenen Aufgaben rangehen kann oder sollte.

Answer 1

zu 1.) :Hier würde ist den klassischen Beweis für Mengengleichheit benutzen

Seien A und B beide leer. Dann gilt für alle x

  x∈ A  ==>    x∈ B 

Denn die Praemisse ist immer falsch.

Ebenso gilt    x∈ B  ==>    x∈ A.

Also A=B.

zu 2) entsprechend: Die Praimisse ist immer falsch, also ist 

die Implikation   x ∈ ∅ ⇒ E(x)          wahr.

zu 3.) ∅ ⊂ X , ∅ ⊂ ∅.

A  ⊂  B heißt doch bei euch wohl zweierlei:

(manche begnügen sich auch mit dem 1. Punkt)

Für alle x gilt     x∈ A  ==>    x∈ B 

und : Es gibt ein   x∈ B  und   x∉  A.

Also im Falle ∅ ⊂ X wäre das:

Für alle x gilt     x∈  ∅   ==>    x∈ X

wieder wahr wegen falscher Praemisse.

und das zweite 

Es gibt ein   x∈ X  und   x∉ ∅

Da X nicht leer ist, gibt es ein   x∈ X 

und   x∉ ∅ ist für jedes x erfüllt.

∅ ⊂ ∅  Das ist für den 2. Teil nicht erfüllt, also

musst du mal in eure Def.von ⊂ schauen.

zu 4) Versuche es indirekt .

Sei also      A = ∅ ∨ B = ∅   falsch

Dann folgt mit De Morgan:      A ≠ ∅  ∧ B ≠ ∅  

==> Es gibt ein a∈A und  Es gibt ein b∈B 

==>  (a,b) ∈ AxB    Widerspruch zu   AxB    = ∅.

5.) Nimm die Def. von f(∅).  (Bildmenge von ∅ )

Sei y ∈  f(∅) . ==>   Es gibt ein x ∈  ∅   mit  f(x)=y 

Da es aber in   ∅  überhaupt kein Element gibt, kann

das nie erfüllt sein, also ist die Annahme Sei y ∈  f(∅)

immer falsch, also    f(∅) = ∅.

Entsprechend für die Urbildmenge.