Grenzwert bestimmen - Sandwich Lemma. n(√(n^{3}+2) - √(n^{3}+1))

Question

Wie bestimme ich den Grenzwert dieser Funktion mit dem Sandwich Lemma?

$$ n(\sqrt { { n }^{ 3 }+2 } -\sqrt { { n }^{ 3 }+1 } ) $$

Comments

Durch erweitern kommt man hier drauf:

$$ \frac { (n\sqrt { { n }^{ 3 }+2 } -\sqrt { { n }^{ 3 }+1 } )\ast (n\sqrt { { n }^{ 3 }+2 } +n\sqrt { { n }^{ 3 }+1 } ) }{ n\sqrt { { n }^{ 3 }+2 } +n\sqrt { { n }^{ 3 }+1 }  } \\ =\frac { { n }^{ 2 }({ n }^{ 3 }+2)-{ n }^{ 2 }({ n }^{ 3 }+1) }{ n\sqrt { { n }^{ 3 }+2 } +\sqrt { { n }^{ 3 }+1 }  } \\ =\frac { { n }^{ 2 } }{ n\sqrt { { n }^{ 3 }+2 } +n\sqrt { { n }^{ 3 }+1 }  } \\ =\frac { { n } }{ \sqrt { { n }^{ 3 }+2 } +\sqrt { { n }^{ 3 }+1 }  } \\ Ab\quad hier\quad habe\quad ich\quad so\quad argumentiert:\\ n\quad <\quad \sqrt { { n }^{ 3 }+2 } +\sqrt { { n }^{ 3 }+1 } \quad |\quad ^{ 2 }\\ { n }^{ 2 }\quad <\quad { n }^{ 3 }+2\quad +\quad { n }^{ 3 }+1\\ Sieht\quad man\quad ja,\quad dass\quad das\quad zutrifft.\\ \lim _{ n->\infty  }{ \sqrt { n }  } \quad =\quad \infty \quad und\quad \lim _{ n->\infty  }{ \frac { 1 }{ \sqrt { n }  }  } \quad =\quad 0\\ Der\quad zweite\quad Ausdruck\quad sagt\quad ja\quad quasi\quad 1\quad geteilt\quad durch\quad unendlich\\ und\quad 1\quad <\quad "\infty ".\quad Da\quad n\quad <\quad \sqrt { { n }^{ 3 }+2 } +\sqrt { { n }^{ 3 }+1 } kann\quad man\quad ja\quad argumentieren,\\ dass\quad ebenfalls\quad n\quad <\quad "\infty "\quad gilt.\quad daher\quad ist\quad die\quad Folge\quad { a }_{ n }\quad eine\quad Nullfolge. $$
Die Frage ist, kann man so argumentieren?

Answer 1

Du hast ein paar mal ein n vor einer der Wurzeln vergessen. - Liegt aber an der ungewohnten Eingabe. Sonst sieht die Rechnung gut aus ( Lasse sie aber zur Kontrolle noch von Wolframalpha nachrechnen) https://www.wolframalpha.com/input/?i=limes+n(%5Csqrt+%7B+%7B+n+%7D%5E%7B+3+%7D%2B2+%7D+-%5Csqrt+%7B+%7B+n+%7D%5E%7B+3+%7D%2B1+%7D+)

Dein letzter Bruch:

Teile nun oben und unten durch n.

So hast du

= 1/(√(n + 2/n^2) + √(n + 1/n^2))

Limes für n gegen unendlich

-----> 0 , da Nenner gegen unendlich geht.

Nachtrag:

1. Dort, wo du nach dem letzten Bruch quadrierst, müsstest du rechts eine binomische Formel anwenden.

2. Das n könntenst du von Anfang an (und möglichst lange) vor dem Bruch stehen lassen.

Comments

Wäre beim teilen durch n nicht der Bruch so:

$$ \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { { n }^{ 3 }+2 }  }{ { n } } +\frac { \sqrt { { n }^{ 3 }+1 }  }{ n }  } $$

Wir wissen ja, dass der Ausdruck
$$ \sqrt { { n }^{ 3 }+2 } +\sqrt { { n }^{ 3 }+1 }  $$  divergent ist (also gegen unendlich strebt), also der Nenner vom letzten Bruch.

Dadurch sollte $$ \frac { \sqrt { { n }^{ 3 }+2 }  }{ { n } } +\frac { \sqrt { { n }^{ 3 }+1 }  }{ n }  $$ ebenfalls divergent(unendlich) sein. man kann ja auch für $$ \frac { 1 }{ \frac { \sqrt { { n }^{ 3 }+2 }  }{ { n } } +\frac { \sqrt { { n }^{ 3 }+1 }  }{ n }  } $$ schreiben $$ q = \frac { \sqrt { { n }^{ 3 }+2 }  }{ { n } } +\frac { \sqrt { { n }^{ 3 }+1 }  }{ n }   $$

und $$ \frac { 1 }{ q } $$ hat ja die gleiche Form wie 1/n und 1/n ist ja bekanntlich eine Nullfolge.

Kann man das so aufschreiben?