Summenzeichen und Produktzeichen nebeneinander

Question

İch muss die summe einer imaginären Einheit berechnen aber das problem ist das es so eine hohe zahl ist ich weiss nicht wie ich da vorgehen soll.Könnte mir einer vielleicht ein Tipp geben.

Bei der zweiten Aufgabe muss ich das prdukt und die Summe berechnen.Ich habe alles berechnet aber ich bin mir nicht sicher ob es richtig ist.

Answer 1

Hallo Sweetii,

aus der Differenz \(2i-1\) darfst Du nicht das \(2i\) kürzen, das ist falsch. Es ist

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{3} \prod_{j=1}^{i} \frac{2j-1}{2j} &= \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}\right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}\right) \\&= \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{5}{16} = \frac{19}{16} \end{aligned}$$

zu der Aufgabe mit der imaginären Einheit

$$\sum_{n=0}^{1346} i^n = 1 + i + (-1) + (-i) + 1 + i + (-1) + (-i) ...$$

wie Du siehst, wiederholt sich da ständig etwas mit einer Periode von 4. Die Summe jedes Viererblocks ist immer

$$1 + i + (-1) + (-i) = 0$$

Und da \(1346+1 \equiv 3 \mod 4\) ist bleibt am Ende nur \(1+i+(-1)=i\) übrig. '\(+1\)', da es 1347 Summanden sind; die Folge beginnt bei \(n=0\). Damit ist

$$\sum_{n=0}^{1346} i^n = i$$

Gruß Werner

Edit: Danke Lu - ich habe es korrigiert - es sind 1347 Summanden

Comments

@1.1 a) Hast du berücksichtigt, dass die Summe bei n=0 beginnt? Das wären 1347 Summanden und zum Schluss bleibt 1+i + i^2 = 1 + i + (-1) = i

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Vielen Dank das sie mir so schnell geantwortet haben.Ich habe komplett vergessen das ich bei Brüchen Differenzen nicht kürzen darf.Jetzt habe ich doch noch ein paar fragen nämlich wie kommen sie auf die lòsung 19/16 denn ich gabe alles nochmal gerechnet und bei mir kommt 15/48 raus

Meine zweite frage wäre was bedeutet eig 1346= 2 mod 4 ? Könnte man diese Aufgabe auch ohne taschenrechner rechnen oder ist nur dieser weg möglich.

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Hallo Sweetiii,

ich komme genau so darauf, wie ich es oben beschrieben habe. Es handelt sich um eine Summe von Produkten.

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^{3} \prod_{j=1}^{i} \frac{2j-1}{2j} &= \prod_{j=1}^{1} \frac{2j-1}{2j} + \prod_{j=1}^{2} \frac{2j-1}{2j} + \prod_{j=1}^{3} \frac{2j-1}{2j}\\&= \left( \frac{1}{2} \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4}\right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6}\right) \\&= \frac{1}{2} + \frac{3}{8} + \frac{5}{16} = \frac{19}{16} \end{aligned}$$

.. weiß nicht, wie ich es noch näher erklären soll. Ist Dir das obige klar?

Was Du da ausgerechnet hast ist nur der Term

$$\prod_{j=1}^{3} \frac{2j-1}{2j} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{15}{48} = \frac{5}{16}$$Gruß Werner

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Vielen Dank nochmal :)

Kennen sie vielleicht eine seite oder ein video wo die mir summenzeichen und produktzeichen die nebeneinander stehen erklären?Ich habe gerade bemerkt das mir die regeln nicht so ganz klar sind.

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Nein - tut mir leid. Ich kenne praktisch gar kein Mathe-Video - meine erste Quelle ist immer Wikipedia. Aber da wird das nicht unbedingt verständlich erklärt.

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Okay keine problem trotzdem vielen dank :)