Satz zu Teilverhältnis von Schwerlinien mit Vektoralgebra beweisen.

Question

Weiss jemand, wie man den Satz, dass der Schwerpunkt eines Dreieckes die Schwerelinien im Verhältnis 2:1 teilt mit Vektor Algebra herleiten kann?

Answer 1

Nun durch nachrechnen. Also dann

sab gehe zur Seitenmitte ab und t weit zum Schwerpunkt  Richtung C:
sab(t):= (a+b)/2 + t (c-(a+b)/2) dgl mit sbc(r) und sac(s)

1: sab:=((a1,a2)+(b1,b2))/2 +t ((c1,c2)-(((a1,a2)+(b1,b2))/2 ))

2: sbc:=((b1,b2)+(c1,c2))/2 +r ((a1,a2)-(((b1,b2)+(c1,c2))/2 ))

3: sab-sbc=0

$$ \binom{-a1 \; r - \frac{1}{2} \; a1 \; t + \frac{1}{2} \; a1 + \frac{1}{2} \; b1 \; r - \frac{1}{2} \; b1 \; t + \frac{1}{2} \; c1 \; r + c1 \; t - \frac{1}{2} \; c1}{-a2 \; r - \frac{1}{2} \; a2 \; t + \frac{1}{2} \; a2 + \frac{1}{2} \; b2 \; r - \frac{1}{2} \; b2 \; t + \frac{1}{2} \; c2 \; r + c2 \; t - \frac{1}{2} \; c2} = 0$$

Solve($3,{t, r})

$$ \left\{  t = \frac{1}{3}, r = \frac{1}{3} \right\}  $$