Aufgabe:
Differentialgleichung eines gedämpften harmonischen Oszillators
a) Zeigen Sie, dass der Oszillator, welcher durch die Bewegungsgleichung \( \ddot{x}+\dot{x}+3 x=0 \) beschrieben wird, sich im Schwingfall befindet.
Bestimmen Sie die gedämpfte Kreisfrequenz \( \omega \) und geben Sie die explizite Lösung \( x(t) \) in der Form \( x(t)=A(t) \cos (\omega t+\varphi) \) an, wobei die Anfangssbedingung \( x(0)=1 \) und \( \dot{x}(0)=0 \) gilt.
b) Zeigen Sie, dass das System \( \ddot{x}+4 \dot{x}+3 x=0 \) überkritisch gedämptt ist, und bestimmen Sie die Lösung für die Anfangsbedingung \( x(0)=1 \) und \( \dot{x}(0)=0 \).
Wie ist das asymptotische Verhalten für lange Zeiten?
