Parameter a, b ∈ R aus Dichtefunktion mit gegebenen Erwartungswert E(X) berechnen.

Question

Hallo.

Ich habe die Dichte

f(x) =  a + bx², 0 ≤ x ≤ 1

           0, sonst

gegeben.

(a) Wie finde ich hierbei die Paramater a und b heraus, unter der Annahme, dass E(X) = 3/5 

(b) Wie finde ich hierbei die Verteilungsfunktion der in (a) gefundenen Dichte? 

(Wobei ich mir selber sicher bin dass ich (b) herausfinden kann, wenn ich weiß wie ich a und b berechne.)

Answer 1

Zu (a)

Es muss gelten $$ (1) \quad \int_0^1 f(x) dx = 1 $$ und $$ (2) \quad \int_0^1 x f(x) dx = \frac{3}{5} $$ daraus kann man die Parameter \( a \) und \( b \) berechnen.

Zu (b)

Die Verteilungsfunktion ist

$$ F(x) =  \begin{cases} 0 & \text{ für } x<0 \\ \int_0^x f(x) dx  & \text{ für } 0 \le x \le 1 \\ 1 & \text{ für } x > 1 \end{cases} $$