vereinfachen Sie folgende Ausdrücke komplexe zahlen

Question

vereinfachen sie folgende ausdrücke:

5+4i/5-4i                     1/2+5i                   1/2+3i + 1/2-3i               1/x-iy

Answer 1

( 5 + 4 i ) / ( 5 - 4 i )

[mit der zum Nenner konjugiert komplexen Zahl ( 5 + 4 i ) erweitern:]

= ( 5 + 4 i ) * ( 5 + 4 i )  /  ( ( 5 - 4 i ) * ( 5 + 4 i ) )

[Zähler und Nenner ausmultiplizieren:]

= ( 25 + 20 i + 20 i + 4 i ² ) / ( 25 - 4 i ² )

[Zusammenfassen:]

= ( 25 + 40 i - 16 ) / ( 25 + 16 )

= ( 1 / 41 ) * ( 9 + 40 i )

= ( 9 / 41 ) + ( 40 / 41 ) i

 

Auf diese Weise macht man es auch mit den drei anderen Termen.

Ergebnisse (wobei ich die Darstellung der Terme so verändert habe, wie du es vermutlich gemeint hast):

1 / ( 2 + 5 i ) = ( 1 / 29 ) * ( 2 + 5 i )      

1 / ( 2 + 3 i ) + 1 / ( 2 - 3 i ) = 4 / 13

1 / ( x - i y ) = ( 1 / ( x ² + y ² ) ) * ( x + i y )

Eine wirkliche Vereinfachung ist bei der letzten Aufgabe allerdings nicht festzustellen ...