Begründen Sie log b (a) * log a (b) = 1

Question

brauche bitte Hilfe zu dieser Aufgabe:

 

Hab leider absolut keine Ahnung, wie man da vorgeht :-/

Answer 1

Darfst du log_(u)(v) = ln(v)/ln(u) verwenden?

log b (a) * log a (b) 

= ( ln(a)/ln(b)) * (ln(b)/ln(a))      | Bruchmultiplikation und dann kürzen

= 1

für alle Basen a,b > 1 sorgt dafür dass die Logarithmen definiert sind und verhindert, dass im Nenner 0 steht. 

Eleganter ist es allerdings, wenn du diese Formel mit Hilfe der Definition des Logarithmus zeigst (vgl. andere Antwort) 

Comments

Ich glaube nicht.

Aber wie gehts jetzt weiter? Also wie macht man die Bruchmultiplikation?

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= ( ln(a)/ln(b)) * (ln(b)/ln(a))      | Bruchmultiplikation und dann kürzen

= (ln(a) * ln(b))/(ln(b)*ln(a))

= (1*1)/(1*1) 

= 1

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Okay danke!

Aber was hat es mit "Begründen Sie" aufsich? Und in der Angabe steht auch "für alle Basen"

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für alle Basen a,b > 1 sorgt dafür, dass die Logarithmen definiert sind und verhindert, dass im Nenner 0 steht.

Answer 2

gemäß Definition des Logarithmus ist

a=b^{log_b[a]}

Nimm davon nochmal den Logarithmus zur Basis a:

1=log_a{b^{log_b[a]}}

1=log_a(b) * log_b(a)

gemäß Log Gesetz

Log(x^y)=ylog(x)

Comments

Was heißt das jetzt genau? Sorry, ich versteh das nämlich überhaupt nicht :-/

Oder ist das schon die Lösung?

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Das ist schon die Lösung. Wenn du etwas nicht verstehst solltest du sagen was du direkt nicht verstehst.

Gehe dafür Zeile für Zeile durch und gib dann die erste Zeile an die Du nicht verstehst.