Hi,
a)
Anschaulich:
Die e-Funktion ist ja nicht beschränkt:
~plot~ e^x ~plot~
Durch das Minus im Exponenten spiegelst du die e-Funktion lediglich an der y-Achse:
~plot~ e^{-x} ~plot~
Das Minus vor der gespiegelten e-Funktion sorgt lediglich dafür, dass der Graph an der x-Achse gespiegelt wird:
~plot~ -e^{-x} ~plot~
Formal:
Nehmen wir an, die Funktion wäre beschränkt, d.h. es gibt ein K ∈ ℝ mit
$$|-e^{-x}| \le K \ \forall x \in \mathbb{R}$$
Wähle x = - ln(K+1). Wir erhalten:
$$|-e^{-x}|=e^{-x}=e^{-(- ln(K+1))}=K+1 \le K$$
Das ist offensichtlich falsch, weswegen die Funktion nicht beschränkt ist.
d)
Anschaulich:
Der Sinus ist beschränkt durch 1:
~plot~ sin(x) ~plot~
Durch das Quadrieren wird jeder Wert ja einfach quadriert:
~plot~ (sin(x))^2 ~plot~
Offensichtlich ist die Funktion also beschränkt:
Formal:
Es gilt:
$$|(sin(x))^2|=|sin(x) \cdot sin(x)| = |sin(x)| \cdot |sin(x)| \le 1 \cdot 1 = 1$$
Die Funktion ist also beschränkt durch die Konstante 1.
Versuche mal die anderen nun selbst.
