e^x+e^{3x}-5=0 nach x auflösen

Question

Hey zusammen,

bei der oberen Gleichung weiß ich überhaupt nicht weiter.. Wie kann ich das auflösen? Würde mich riesig um eine Antwort freuen :-)

Answer 1

Ersetze e^3x durch (e^x)³ wegen Potenzgesetzen.

Ersetze dann e^x durch z.

Löse die Gleichung z + z³ - 5 = 0. Einzige reelle Lösung ist

        \(z = \sqrt[3]{\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{679}}{6\cdot\sqrt{3}}} - \frac{1}{3\cdot\sqrt[3]{\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{679}}{6\cdot\sqrt{3}}}}\)

Die Lösungen der ursprünglichen Gleichung sind dann die Lösungen der Gleichungen z = e^x. Im reellen Fall also

        \(x = \ln\left(\sqrt[3]{\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{679}}{6\cdot\sqrt{3}}} - \frac{1}{3\cdot\sqrt[3]{\frac{5}{2}+\frac{\sqrt{679}}{6\cdot\sqrt{3}}}}\right)\)

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Super, danke dir vielmals!! :-)

Answer 2

setze e^x=z

erinnere dich, dass e^{3x}=(e^x)^3

Also erhält man 

z+z^3-5=0

z^3+z-5=0

Diese Gleichung lässt sich allerdings im Rahmen der Schulmathematik nicht exakt lösen. 

Man erhält näherungsweise 

z≈1.516

und damit x=LN(1.516)≈0.416

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Super, danke dir vielmals!! :-)