Hi,
(ii)
a) Diese Aussage ist wahr.
Nehme an, das Bild sei nicht beschränkt und wähle \(a,b \in \mathbb{R}\) so, dass \(A \subseteq [a,b]\).
Es gibt also für jedes \(n \in \mathbb{N}\) ein \(a_n \in [a,b]\) mit \(\vert f(a_n) \vert > n\). Nun besitzt unsere Folge eine konvergente Teilfolge \(a_{n_k}\) mit Grenzwert \(c\). Was kannst du folgern?
b) Diese Aussage ist fasch.
Betrachte eine beliebige konstante Funktion.
(iii)
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Wir nehmen an, dass \(M\) beschränkt, aber nicht abgeschlossen ist und folgern, dass es eine stetige Funktion gibt für die das Bild nicht beschränkt ist. (Kontraposition)
Sei \(M\) nicht abgeschlossen, d.h. \(\mathbb{R} \backslash M\) nicht offen. D.h. es existiert ein \(z \in \mathbb{R} \backslash M\), sodass für alle \(\delta >0\) gilt, dass \(B_{\delta}(z) \not\subseteq \mathbb{R} \backslash M\).
Es existiert ein \(\epsilon>0\) mit \((z,z+\epsilon) \subset M\) oder \((z-\epsilon,z) \subset M\). Denn: Wäre dies nicht der Fall, so könnte es gar keine stetige Funktion auf \(M\) geben, womit wir fertig wären. Mache dir das noch mal klar.
Nun ist die Funktion \(f(x)=\frac{1}{z-x}\) stetig auf \(M\), aber auch unbeschränkt. Wir nähern uns \(z\) beliebig nah, womit der Nenner immer kleiner wird und somit der Bruch immer größer.
"=>"
Sei \(b_n\) eine Folge in \(f(M)\). Jedes \(b_n\) besitzt ein Urbild \(a_n\), d.h. \(f(a_n)=b_n\). Wegen der Abgeschlossenheit besitzt \(a_n\) eine konvergente Teilfolge \(a_{n_k}\) mit Grenzwert \(a \in M\). Nutze nun die Stetigkeit und zu guter Letzt den Satz von Bolzano Weierstraß.
