Textaufgabe Funktionenschar

Question

Funktion gegeben: f_k(x)=-(4/x^2)+k . 

k sei jetzt k=1. Die Tangenten an den Graphen von f_k in P(u|v) und Q(-u|v) bilden mit Gerade y=1 das Dreieck mit Inhalt A(u). Bestimme A(u). 

Ich habe mir die Geraden und Graphen gezeichnet, schaffe es aber nicht auf den Inhalt zu schließen. Was ich aber weiß ist, dass beide Tangenten die gleiche Steigung mit umgedrehten Vorzeichen haben, wegen der u und -u Koordinate. Bei Nachfragen könnt ihr gerne stellen!

Answer 1

f_k(x)=-(4/x²)+k . 

k sei jetzt k=1. Die Tangenten an den Graphen von fk in P(u|v) und Q(-u|v) bilden mit Gerade y=1 das Dreieck mit Inhalt A(u). Bestimme A(u). 

Tangente in P hat die Steigung f ' (u) = 8/u³   und geht durch ( u ;  1 - 4/u² )

mit y = mx+n gibt das   1 - 4 / u² =  8/u³  * u  + n

                    also  n = 1 - 12/u²  also  y =   8/u³  * x  + 1 - 12/u²  

schneidet  y=1  wenn gilt  1 =     8/u³  * x  + 1 - 12/u²  

             also bei x = 3u / 2 .

und wegen der Symmetrie die andere Tangente bei  x = -3u/2 .

Damit hat das (gleichschenklige) Dreieck die Basis der Länge 3u und

eine Höhe von 1 - 12/u²  (y-Achsenabschnitt der Tangenten).

Also ist A(u) =  3u * ( 1 - 12/u²  )  / 2 

Comments

Muss die Höhe nicht noch mit 1 addiert werden, da der y-Achsenabschnitt doch unter der x-Achse ist, oder?

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Irgendwas muss da falsch sein, weil die nachfolgende Aufgabe verlangt, dass ich das Volumen berechne, wenn das Dreieck um die y-Achse gedreht wird(Kegel). Da soll ein Ergebnis ohne u herauskommen. Kommt es aber leider mit deinen Ergebnissen nicht...

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Das mit dem +1 ist dann wohl eine gute Idee !

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Ok danke... falls du diese Nachricht noch siehst. Wie würdest du die Rechnung weiterführen für Volumen des Kegels?

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Hab ich gerade versucht, scheint's stimmt da immer noch was nicht:

Der Kegel hätte ja Radius 3u/2 und Höhe (korrigiert )  2 - 12/u² .

Aber dann wird es falsch. Ich denke richtig ist so:

Die Kegelhöhe ist   | 1-12/u² | + 1

Denn bei den negativen Werten kann man ja nicht einfach 1 addieren.

Dann ist das Volumen 

V = 1/3 * r² * h 

 = 1/3 * 9u² / 4  *  (| 1-12/u² | + 1)

Zumindest für  |u|≤√12  hast du dann 

= 1/3 * 9u² / 4  *  12/u²   = 1 also etwas ohne u.

Für u>√12   allerdings nicht.

Vielleicht passt es aber so zu der Aufgabe ???