Bernoullikette oder anderer Weg?

Question

Aufgabe:

1) In einer Lostrommel befinden sich 27 Lose, davon sind 9 Gewinne.

4 Lose werden gezogen mit Zurücklegen.

Frage a): wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 2 Gewinnlose zu ziehen.

Frage b)  wie groß ............. mehr als 2 Gewinnlose zu ziehen

2) Eine Maschine produziert ununterbrochen Chips, wobei 20 % defekt sind.

Man kauft 200 Chips.

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 40 Defekte dabei sind ?

Ich bräuchte doch jetzt eine Bernoullikette für k von 0 bis 40 (siehe Handschriftliches in geladener Datei)

Muss man 40 Mal eineln für jedes k rechnen und dann alle Ergbnisse zusammenzählen ????

isabel Lose.pdf (0,2 MB)

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Vom Duplikat:

Titel: Bernoullikette berechnen mit Summe

Stichworte: bernoulli,wahrscheinlichkeit,stochastik,kette

1) In einer Lostrommel befinden sich 27 Lose, davon sind 9 Gewinne.

4Lose werden gezogen  MIT ZURÜCKLEGEN.

Frage a): wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 2 Gewinnlose zu ziehen.

Frage b)  wie groß ..........................................mehr als 2 Gewinnlose zu ziehen

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2) Eine Maschine produziert ununterbrochen Chips, wobei 20 % defekt sind.

Man kauft 200 Chips.

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 40 Defekte dabei sind ?

Ich bräuchte doch jetzt eine Bernoullikette für k von 0 bis 40 (siehe Handschriftliches in geladener Datei)

Muss man 40 Mal eineln für jedes k rechnen und dann alle Ergbnisse zusammenzählen ????

isabel Lose.pdf (0,2 MB)

Bitte Hilfe
Uli

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Vom Duplikat:

Titel: Bernoullikette für defekte Ware ?

Stichworte: bernoulli,wahrscheinlichkeit,stochastik,kette

1) In einer Lostrommel befinden sich 27 Lose, davon sind 9 Gewinne.

4Lose werden gezogen  MIT ZURÜCKLEGEN.

Frage a): wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 2 Gewinnlose zu ziehen.

Frage b)  wie groß ..........................................mehr als 2 Gewinnlose zu ziehen

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2) Eine Maschine produziert ununterbrochen Chips, wobei 20 % defekt sind.

Man kauft 200 Chips.

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 40 Defekte dabei sind ?

Ich bräuchte doch jetzt eine Bernoullikette für k von 0 bis 40 (siehe Handschriftliches in geladener Datei)

Muss man 40 Mal eineln für jedes k rechnen und dann alle Ergbnisse zusammenzählen ????

isabel Lose.pdf (0,2 MB)

Bitte Hilfe
Uli

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Vom Duplikat:

Titel: Bernoullikette oder Binomial ?

Stichworte: bernoulli,wahrscheinlichkeit,stochastik,kette

1) In einer Lostrommel befinden sich 27 Lose, davon sind 9 Gewinne.

4Lose werden gezogen  MIT ZURÜCKLEGEN.

Frage a): wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 2 Gewinnlose zu ziehen.

Frage b)  wie groß ..........................................mehr als 2 Gewinnlose zu ziehen

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2) Eine Maschine produziert ununterbrochen Chips, wobei 20 % defekt sind.

Man kauft 200 Chips.

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 40 Defekte dabei sind ?

Ich bräuchte doch jetzt eine Bernoullikette für k von 0 bis 40 (siehe Handschriftliches in geladener Datei)

Muss man 40 Mal eineln für jedes k rechnen und dann alle Ergbnisse zusammenzählen ????

isabel Lose.pdf (0,2 MB)

Bitte Hilfe
Uli

Answer 1

1) In einer Lostrommel befinden sich 27 Lose, davon sind 9 Gewinne. 4 Lose werden gezogen  MIT ZURÜCKLEGEN.

a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit genau 2 Gewinnlose zu ziehen.

Mit Zurücklegen

P = (4 über 2)·(9/27)^2·(1 - 9/27)^{4 - 2} = 0.2963

Ohne Zurücklegen

P = 9/27 * 8/26 * 18/25 * 17/24 * 6 = 0.3138

b) wie groß ..........................................mehr als 2 Gewinnlose zu ziehen

Mit Zurücklegen

(4 über 3)·(9/27)^3·(1 - 9/27)^{4 - 3} + (4 über 4)·(9/27)^4·(1 - 9/27)^{4 - 4} = 0.1111

Ohne Zurücklegen

P = 9/27 * 8/26 * 7/25 * 18/24 * 4 + 9/27 * 8/26 * 7/25 * 6/24 = 0.0933

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2) Eine Maschine produziert ununterbrochen Chips, wobei 20% defekt sind. Man kauft 200 Chips.

Frage: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 40 Defekte dabei sind ?

1 - ∑ (x = 0 bis 40) ((200 über x)·0.2^x·0.8^{200 - x}) = 0.4578

Comments

zu 1) "MIT ZURÜCKLEGEN" (Zitat aus der Aufgabenstellung)!

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Oh. Das habe ich wohl glatt überlesen. Hätte auch nicht erwartet das es tatsächlich Lostrommeln gibt wo man die gezogenen Lose wieder reinwirft.

Ich ergänze das in meiner Antwort.

Answer 2

> Muss man 40 Mal eineln für jedes k rechnen und dann alle Ergbnisse zusammenzählen

Es ist noch viel schlimmer: man muss es 41 mal machen. Seit dem Tod von Alessandro Binomi (Erfinder der Binomialverteilung, * 1727, † 1643) wurden Generationen von Schülern damit gequält.

Aber die Schüler haben sich schließlich solidarisiert, was dann gegen Mitte der 1990er in den großen Binomialprotesten kumulierte. Daraufhin hatten die Taschenrechnerhersteller ein Einsehen und haben sich gedacht:

• Meine Taschenrechner können die Wahrscheinlichkeit für genau k Erfolge berechnen.
• Meine Taschenrechner können zusammenzählen.
• Warum kombinieren wir beides nicht einfach?

Seit dem haben Taschenrechner nicht nur eine Funktion, mit der man

        P(X = k)

ausrechnen kann, sondern auch eine, mit der man

        P(X ≤ k)

ausrechnen kann. Beim Casio fx CG-20 heißt sie zum Beispiel BinomialCD. In Erinnerung an o.g. Binomialproteste findet man diese Funktion meistens unter dem Stichwort "kumulierte Binomialverteilung" im Handbuch der Taschenrechner.

Trotz dieses Teilerfolges solltest du beachten, dass

        P = 1 - ∑_{k=0 .. 40} 200Ck · 0,2^k · 0,8^200-k

ist, schließlich bist du ja an mehr als 40 Defekten interessiert. Das ist das Gegenereignis von 40 oder weniger Defekte.

Und übrigens, bei 1a würde ich \(P= \binom{4}{2} \cdot\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{4-2}\) sagen.

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort. Hat mir sehr geholfen.

Uli

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Oswald, die letzte Zeile ist falsch.

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Ja, hast ja recht, es werde nur vier Lose gezogen.. Immerhin war sie richtiger.

Answer 3

Hier mal eine kleine Anmerkung zu der ersten Aufgabe, die da lautete:

1) In einer Lostrommel befinden sich 27 Lose, davon sind neun Gewinnlose. Vier Lose werden MIT ZURÜCKLEGEN (Hervorhebung im Original) gezogen.

a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Gewinnlose zu ziehen?

b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mehr als zwei Gewinnlose zu ziehen?

Natürlich ist die Aufgabe schon etwas seltsam, da es dem Wesen eines Lotteriespiels eigentlich nicht entspricht, Lose mit Zurücklegen zu ziehen, schließlich werden die ja verkauft.

Da es aber nun einmal so sein soll, handelt es sich bei den vier Ziehungen natürlich um eine Bernoulli-Kette und nicht um irgendetwas anderes. Die Anzahl X der Gewinnlose in der Ziehung ist daher binomialverteilt mit den Parametern n=4 und p=9/27=1/3 und gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten P(X=2) und P(X>2), beide jeweils leicht berechenbar mit der Bernoulli-Formel, einer geeigneten Tafel oder einem GTR/CAS.

Daher sind die beiden anderen Antworten, die der Fragesteller bislang bekommen hat, in Bezug auf die erste Aufgabe bereits im Ansatz völlig falsch...