Hi,
das Problem wird in zwei Teile zerlegt.
Erstens in das Lösen der homogenen PDGL mit inhomogenen Anfangsbedingungen, also folgendes
$$ (1) \quad u_{tt}(x,t) = u_{xx}(x,t) \ \text{ mit } \\ \quad \quad u(0,t)=u(\pi,t)=0 \ \text{ und } \ u(x,0) = 2 \sin(x) \ \text{ und } \ u_t(x,0)=\sin(2x) + 4 \sin(x) $$ sowie in ein zweites Problem, dem Lösen der inhomogenen PDGL mit homogenen Anfangsbedingungen, also folgendes
$$ (2) \quad v_{tt}(x,t) = v_{xx}(x,t)+ 3 \cos(t) \sin(2x) \ \text{ mit } \ v(0,t)=v(\pi,t)=v(x,0)=v_t(x,0)=0 $$
Das ursprüngliche Problem wird dann durch
$$ (3) \quad w(x,t) = u(x,t) + v(x,t) $$ gelöst.
Jetzt zu (1). Entsprechend http://theory.gsi.de/~vanhees/faq-pdf/Wellengleichung.pdf Kapitel 2.4.2 liefert der Separationsansatz mit \( \nu = 1 \), \( l = \pi \), \( a(x) = 2 \sin(x) \) und \( b(x) = \sin(2x) + 4 \sin(x) \) folgende Lösungen
$$ (4) \quad u_n(x,t) = \sin(nx) \left[ c_n \sin(nt) + d_n \cos(nt) \right] $$ und durch Superposition
$$ (5) \quad u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty u_n(x,t) $$
Aus den Anfangsbedingungen folgt
$$ (6) \quad u(x,0) = \sum_{n=1}^\infty d_n \sin(nx) = 2 \sin(x) $$ und
$$ (7) \quad u_t(x,0) = \sum_{n=1}^\infty c_n n \sin(nx) = \sin(2x) + 4 \sin(x) $$
D.h. es gilt $$ d_1=2, \ c_1=4, \ c_2=\frac{1}{2} $$ alle anderen Koeffizienten sind Null.
Damit ergibt sich die Lösung von (1) zu
$$ (8) \quad u(x,t) = \sin(x) \left[ 4 \sin(t) + 2 \cos(t) \right] + \frac{1}{2} \sin(2x) \sin(2t) $$
Jetzt zur Lösung von (2)
Man macht den Ansatz
$$ (9) \quad v(x,t) = \sum_{n=1}^\infty v_n(t) \sin(nx) $$
Aus den Anfangsbedingungen folgt, das gelten muss
$$ (10) \quad v(x,0) = \sum_{n=1}^\infty v_n(0) \sin(nx) = 0 $$ also \( (11) \quad v_n(0) = 0 \) und ebenso \( (12) \quad v'_n(0) = 0 \text{ für alle } n \)
Differenzieren und einsetzten in die PDGL (2) ergibt
$$ (13) \quad \sum_{n=1}^\infty \left[ v''_n(t) + n^2 v_n(t) \right] \sin(nx) = 3 \cos(t) \sin(2x) $$
Koeffizientenvergleich ergibt
$$ (14) \quad v''_2(t) + 4 v_2(t) = 3 \cos(t) \ \text{ und } \ v_2(0) = v'_2(0) = 0 $$ alle anderen \( v_n(t) \) sind Null.
(14) hat die Lösung
$$ (15) \quad [1-\cos(t)] \cdot [ 2 \cos(t) +1 ] $$
Damit ergibt sich die Gesamtlösung zu
$$ (16) \quad w(x,t) = \sin(x) [ 4 \sin(t)+2 \cos(t) ] + \frac{1}{2} \sin(2x) \sin(2t) + [1-\cos(t)] \cdot [ 2 \cos(t) +1 ] \sin(2x)$$
