Ganzrationale Funktion Wendetangente

Question

Muss eine Ganzrationale Funktion dritten grades eine Wendetangente haben wenn ja wo

Answer 1

> Muss eine ganzrationale Funktion dritten Grades eine Wendetangente haben, wenn ja wo?

Ja !  Im Wendepunkt.

Die Antwort von Immai

> Muss nicht immer sein     ist leider falsch:

Jede ganzrationale Funktion 3. Grades hat genau einen Wendepunkt W (# unten) . Dieser kann durchaus ein Sattelpunkt sein!)

Die Tangente in W an den Graph ist die Wendetangente. 

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# Nachweis:

f(x) =  ax^3+bx^2+cx+d    ,   f ' (x) = 3·a·x^2 + 2·b·x + c 

f "(x) = 6·a·x + 2·b  = 0   →  x_w = -b / (3a)   [ a ≠ 0 , sonst Grad ≠ 3 ]

f '''(x_w) = 6a ≠ 0   →   x_w  ist eine Wendestelle  

f(x_w)  =  - b·c / (3·a) + 2·b^3 / (27·a^2) + d  = y_w

→  Wendepunkt  W ( x_w  |  y_w )

Gruß Wolfgang

Comments

Jede ganzrationale Funktion hat genau einen Wendepunkt

Trotz aller gebotenen Kürze sollte die Vollständigkeit nicht leiden...

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Stimmt, danke für den Hinweis.  Habe "3. Grades " in der Antwort ergänzt.

Answer 2

Muss nicht immer sein, ein gegen beispiel 

Y= x^{3}-x^{2}+x

Leite drei mal ab

Dann siehst du dass es nicht hinhaut.

Bei

Y= x^{3}

Weisst du dass es ein sattelpunkt gibt.

Von da kannst du lernen was du brauchst.

Wenn du 3-mal ableitest kommt ja 

y"'= 6

Somit weist du

y'=0

y"=0

y"' ungleich 0

Noch fragen?

Grüsse

Immai

Nachtrag:

Gilt übrigens auch für

y= x^{2}

Hier weisst du das es ein tiefpunkt besitzt.

Zweimal ableiten zeigt

y'= 2x

f"(x)= 2

Ist ja grösser Null!

Somit

Kannst du die hier auch herleiten, dass

f"(x)>0  Tiefpunkt ist

f"(x)<0  Hochpunkt ist

Comments

Kannst du mir bei einer aufgabe weiterhelfen ganz ???

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Klar wenn ich es schaffe :)

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> Muss nicht immer sein

Das ist leider falsch.     (vgl. meine Antwort)

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Hmmm komischAber dieses beispiel zeigt dich das es keinen sattelpunkt besitzt?

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Ahhh neeiiiinnnnnn :))

Ich hab gestern in der extrem müdigkeit sattelpunkt verstanden^^

Meine antwort bezieht sich also auf sattelpunkte^^