Gleichgewichtspreis und Gleichgewichtsmenge berechnen

Question

Die Nachfrage nach Gut x sei durch D(p)=5-0,25p gegeben. Die Kosten der Produktion von Gut x werden durch die Kostenfunktion C(x)=0,5x^2+4x+5 beschrieben. Sowohl Konsumenten als auch Produzenten agieren als Preisnehmer (vollständige Konkurrenz). Bestimmen Sie den Gleichgewichtspreis p* und die Gleichgewichtsmenge x*.

Richtige Lösung: p*=7.20, x*=3.20 [nach Kommentar geändert]

Wie komme ich darauf? Danke schon im Vorhinein.

Comments

Sollte die Gleichgewichtsmenge und der Gleichgewichtspreis nicht ein Punkt auf der Nachfragefunktion sein.

Kannst du mal die Angaben der Aufgabe und auch der Lösung kontrollieren?

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Ja, sry, die Lösung ist falsch. Richtig wäre:

p*=7.20, x*=3.20

Ansonsten stimmt alles.

Answer 1

Stückkosten = Preis der Nachfrage

(0.5·x^2 + 4·x + 5)/x = 20 - 4·x --> x = 3.20 ME

(0.5·3.20^2 + 4·3.20 + 5)/3.20 = 7.1625 GE

20 - 4·3.21 = 7.20 GE

Comments

Wie kommst du darauf? Kannst du deine Berechnungen vielleicht noch etwas erklären? Z. B. (0.5·x2 + 4·x + 5)/x = 0,5x+4+(5/x) - Wie kommst du auf 20 - 4x=

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Löse mal deine Nachfragefunktion

x = 5 - 0.25·p

zum Preis auf.

p = ...

Wenn du unter der Kostenfunktion K(x) produzierst, dann geben K(x) / x die Stückkosten an. Also die Kosten die pro Stück anfallen. 

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Ok, das verstehe ich. Aber wie kommst du dann auf die 3.20?

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Löse die Gleichung 

(0.5·x^2 + 4·x + 5)/x = 20 - 4·x

mal nach x auf

0.5·x^2 + 4·x + 5 = 20·x - 4·x^2

...

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Ja, dann wäre wieder die Frage: Wie kommst du auf einmal von 20-4x auf 20x-4x^2?
Und wenn ich das so wie du mache, steht da:

5 = 16x - 4,5x^2

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Ja, dann wäre wieder die Frage: Wie kommst du auf einmal von 20-4x auf 20x-4x2?

Ich multipliziere beide Seiten der Gleichung mit x, damit verschwindet das x auf der linken Seite im Nenner.

Und

4.5·x^2 - 16·x + 5 = 0

wäre eine quadratische Gleichung. Was könntest du damit machen?

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Ja, ich könnte einfach alle fünf möglichen Antworten durchprobieren und schauen, bei welcher 0 herauskommt?

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Eigentlich erwarte ich das du eine quadratische Gleichung lösen kannst. Stichwort pq- oder abc-Formel.