DGL mit Substitution. y' = (x-y)^2 + 1, y(0) = 1.

Question

Wie substituiere ich hier?

\( y^{\prime}=(x-y)^{2}+1, \quad y(0)=1 \)

Ich habe es mit u = x-y probiert. Aber das scheint nicht zu funktionieren.

Answer 1

 Wie du siehst, gab Conte Japopo Francesco Pomodoro Spaghetti Miraculix da Riccati sein Leben für die Klassifizierung der DGL .

   https://de.wikipedia.org/wiki/Riccatische_Differentialgleichung

      Ooh frostiger abweisender Jüngling; wäre dir nur zu Sinnen gekommen, was alle tun.  Hättest du bei Wolfram nachgesehen wie ich, wäre dir diese Mitteilung zu Statten gekommen.

Answer 2

Versuche \(y(x)=u(x)+x\). Einsetzen in die DGL

$$u'(x)  +1 = (x - (u(x) + x))^2 + 1$$ $$u'(x) = (u(x))^2$$

Nach Trennung der Variablen erhält man

$$\int \frac{1}{u^2} \text{d}u = \int \text{dx}$$ $$\frac{-1}{u} = x + C$$ $$u = \frac{1}{C -x}$$ Mit \(y(0)=1\) folgt dann $$y(x) = \frac{1}{1-x} + x$$

Answer 3

Ich habe es mit u = x-y  probiert. Aber das scheint nicht zu fruchten.

Doch , das funktioniert: