Bestimme den Erwartungswert der Zufallsvariablen X: Anzahl der zum Sieg notwendigen Spiele.

Question

In einem Volleyballtumier treffen zwei gleich starke Mannschaften \( A \) und \( B \) aufeinander. Ein Match gilt als gewonnen, wenn eine Mannschaft zwei Spiele zu ihren Gunsten entscheidet.

a) Bestimme die Verteilung der Zufallsvariablen X: Anzahl der zum Sieg notwendigen Spiele.

b) Bestimme den Erwartungswert dieser Zufallsvariablen. Was gibt er an?

Answer 1

zur Ermittlung der Zufallsvariablen X (X = Anzahl der zum Sieg notwendigen Spiele) stellt man zuerst den Ereignisraum der Zufallsvariable Y der möglichen Spielabläufe mit ihren Wahrscheinlichkeiten fest:

P(A, A) = 1/4,

P(A, B, A) = 1/8,

P(A, B, B) = 1/8,

P(B, B) = 1/4,

P(B, A, B) = 1/8,

P(B, A, A) = 1/8.

Zum Ereignisraum der Zufallsvariable X gehören nun die Ereignisse "2 Spiele" und "3 Spiele", deren Wahrscheinlichkeiten sich auf die Ereignisse der Zufallsvariable Y zurückführen lassen:

P(2 Spiele) = P(A, A) + P(B, B) = 1/2.

P(3 Spiele) = P(A, B, A) + ... + P(B, A, A) = 1/2.

Somit ist die Verteilung der Zufallsvariable X beschrieben. Der Erwartungswert ergibt sich nach der Formel:

E(X) = P(2 Spiele) * 2 Spiele + P(3 Spiele) * 3 Spiele = 2,5 Spiele. Im Durchschnitt finden 2,5 Spiele statt.

MfG

Mister