Wie löst man diese Gleichung auf? x^2 - 8x = 100

Question

x^2 - 8x = 100

Mir ist in den Sinn gekommen, daraus eine quadratische Gleichung (x^2 - 8x - 100 = 0) zu machen. Doch kann man sie auch anders lösen?

Comments

Alternativ substituiere z := x - 4 und erhalte z² = 116.

Answer 1

daraus eine quadratische Gleichung (x2 - 8x - 100 = 0) zu machen

x² - 8x = 100 ist bereits eine quadratische Gleichung. Und zwar weil man sie in die Form

        ax² + bx + c = 0

umformen kann.

Doch kann man sie auch anders lösen?

Idee ist, den Term x² - 8x so zu ergänzen, dass er mit binomischer Formel zusammengefasst werden kann. Nach dem Zusammenfassen kommt das x nämlich in der Gleichung nur ein einziges mal vor und die Gleichung kann mit den üblichen Gleichungsumformungen gelöst werden.

Macht man das für jede quadratische Gleichung einzeln, dann wird das landläufig "quadratische Ergänzung" genannt. Macht man es ein mal allgemein für die Gleichung x² + px + q = 0, dann bekommt man die sogenannte pq-Formel, in die man dann nur noch einsetzen braucht.

Ein anderes Verfahren kenne ich nicht.

Comments

Idee ist, den Term x2 - 8x so zu ergänzen, dass er mit binomischer Formel zusammengefasst werden kann.

Wie ist er denn genau zu ergänzen?

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

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Binomische Formel:

        a² - 2ab + b²  = (a-b)²

Gegeben:

        x² - 8x

Wenn man in der binomischen Formel a=x nimmt, dann muss 2ab = 8x und somit 2b=8 sein, also b=4. Der Summand b² fehlt, muss also hinzugefügt werden:

        x² - 8x = 100     | + 4²

        x² - 8x + 4² = 116

        (x - 4)² = 116

Answer 2

Hallo.

x^2 - 8x = 100

x^2 - 8x -100=0 ->z.b durch pq-Formel, oder Mitternachtsformel u.a) 

x_1.2= 4± √(16+100)

x_1.2= 4± √116

x₁ ≈ 14.77

x₂ ≈ -6.77

Answer 3

Ja, das sollte klappen.

Mit der:

PQ-Formel
Quadratische Ergänzung
Mitternachtsformel

Answer 4

Lösen z.B. über quadratische Ergänzung

x^2 - 8x = 100

x^2 - 8x + (8/2)^2 = 100 + (8/2)^2

(x - 8/2)^2 = 116

x - 8/2 = ±√116

x = 4 ± √116

x = -6.770329614 ∨ x = 14.77032961

Answer 5

Hallo Fatma,

Doch kann man sie auch anders lösen?

Ja, mit quadratischer Ergänzung:

x² - 8x  = 100

x² - 8x  + 4² = 100 + 16

   denn die quadratische Ergänzung links ist  4² = halber Faktor bei x zum Quadrat

x² - 8x + 4²  = 116   |  links 2. binomische Formel anwenden

(x - 4)² = 116

x - 4 = ±√116

x  = 4 ± √116

     x₁  ≈  14.77  ;    x₂  ≈  - 6.77

Gruß Wolfgang