Diese Behauptung soll wohl bewiesen werden, nicht wahr?
Widerspruchsbeweis ("reductio ad absurdum"):
Voraussetzung: a , b, c und d sind ganze Zahlen und d teilt a und d teilt b, aber d teilt nicht c.
Wenn d teilt a und d teilt b gilt, dann muss es zwei ganze Zahlen m und n geben, sodass gilt:
a = m * d und b = n * d
Dann:
a x + b y = c
<=> m * d * x + n * d * y = c
<=> m * x + n * y = ( c / d )
Nimmt man nun an, es gäbe ganzzahlige x und y, die diese Gleichung lösen, dann ist
m * x ganzzahlig und auch n * y ganzzahlig.
Dann aber muss auch deren Summe c / d ganzzahlig sein und daraus folgt d teilt c.
Das aber ist ein Widerspruch zur Voraussetzung, nach der gilt: d teilt nicht c
Also ist die Annahme, dass es ganzzahlige x und y gibt, die die gegebene Gleichung lösen, falsch. Daher gilt die logische Negation dieser Aussage, nämlich, dass es keine solchen x und y gibt, sondern dass entweder x oder y oder beide nicht ganzzahlig sind. Und das war zu beweisen.