Exponentialfunktion C14 Methode

Question

Die Aufgabe

Das Alter von Fossilien wird mit der bekannten 14C-Methode ermittelt, bei der die Menge an Kohlenstoffatomen, die nach einer bestimmten Zeit nach dem Tod noch ist, mit jener zum Todeszeitpunkt verglichen wird.

a) Die Halbwertszeit beträgt in etwa 5730 Jahr. Stelle ein Zerfallsgesetz mit der Anfangsmenge N(0) auf. 

Hier beginnt bereits mein erstes Problem. Ich hätte es so gemacht: 

N0/2=N0*a^5730

a=0,5^1/5730

a= 0,999879039

In meinem Schulbuch steht folgendes: Zerfallsgesetz: Kohlenstoffisotop C-14 (Zeiteinheit in 10^3 Jahren):

N0/2=No*a^5,73

a=0,5^1/5,73

a= 0,8861

Abnahmegesetz: N(t)=N(0)*0,8861^t (t in 10^3 Jahren)

Und vor Beispiel c steht "Bei genauerer Messung der Halbwertszeit, zeigt sich dass der Abbau des Kohlenstoffisotops 14C nach der Zerfallsformel N(t)= N(0)*0,999879878^t (t in Jahren) erfolgt."

Was ist denn nun richtig und warum?

Beim Rest bräuchte ich auch unbedingt Hilfe, weil es wichtige Übungsbeispiele sind und keine Lösungen existieren.

b)In einer menschlichen Probe sind 3 000 Jahre nach dem Tod nur noch 9,55ng(Nanogramm) enthalten. Berechne jene Menge 14C die zum Zeitpunkt des Todes vorhanden war.

Bei genauerer Messung der Halbwertszeit, zeigt sich dass der Abbau des Kohlenstoffisotops 14C nach der Zerfallsformel N(t)= N(0)*0,999879878^t (t in Jahren) erfolgt.

c) Berechne jene Menge 14C , die nach 10 000 Jahren in einer Probe vorhanden ist, wenn die Menge zum Todeszeitpunkt 13ng betrug.

d)Berechne die Prozentuelle Abnahme von 14C pro 1000 Jahre.

e) Die Zerfallsgeschwindigkeit entspricht der Anzahl der Atome, die pro Zeitschritt zerfallen. Sie wird mit der ersten Ableitung berechnet.

-Gib eine Funktionsgleichung für die Zerfallsgeschwindigkeit an.

-Berechne die Zerfallsgeschwindigkeit nach 100 Jahren und nach 10 000 Jahren.

Interpretiere beide Werte

Answer 1

Das könnte so aussehen

Comments

Es wurde alles immer mit der Halbwertszeit 0,5 5730 gerechnet aber in Aufgabe a Stelle ich ja das Gesetz N(t)=N(0)*0,999879039^t. Kann ich das nicht verwenden?

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Doch. Kannst du auch. Aber wenn du es schon umwandeln möchtest ist die e-Funktion sinnvoller, wenn du eh die Funktion unter e) ableiten möchtest/musst.

Ich bin kein Fan vom Umwandeln, weil man auch alles mit der exakten Form ausrechnen kann. Es gibt eigentlich kein Grund es umzuwandeln. Das wäre wie einen Bruch als gerundete Dezimalzahl zu schreiben. Auch das ist nicht wirklich notwendig.

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Hallo Coach,
in meinem ersten Berufsleben habe ich den
Beruf eines ehrenwerten Physiklaboranten gelernt.

Dort kamen Meßwerte NUR als Dezimalzahlen
vor. Einen Meßwert wie √ 2, e^1.5 oder 1/4
gab es nicht.

Natürlich sind die obigen Werte völlig exakt;
kommen aber in der Laborpraxis nicht vor.

Dezimalzahlen haben den Vorteil das sie
mitunter übersichtlicher sind.
87/123 ist sicherlich nicht so übersichtlich wie
0.707.

Ich werde mich in diesem Leben auch bezüglich
Dezimalzahlen / Rundungen nicht mehr ändern.

Ich gebe außerdem zu Bedenken das heutzutage
vorwiegend mit Taschenrechnern und Dezimalzahlen
gerechnet wird.

(* Scherzmodus ein *)
Erkenntnis des Tages
Dumm sein und Arbeit haben das ist das
wahre Glück
(* Scherzmodus aus *)

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Daher gebe ich im Sachzusammenhang die Endergebnisse auch als gerundete Dezimalzahlen an. Im mathematischen Modell, welches hier den Zerfall beschreibt macht man durch Runden eventuell schon vorher mehr kaputt. Daher runde ich nur Endergebnisse und nicht selber schon das mathematische Modell.

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Ich runde schon seit 50 Jahren.
Bisher ist noch nichts passiert.

Kann aber jeder machen wir er will
oder wie er es gelernt hat.

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Ist ja letztendlich auch egal ob man wie du 13.71 ng oder wie ich 13.73 ng bei Aufgabe b) ermittelt. Ein Lehrer wird dort auch nichts sagen, weil beide Rechnungen völlig richtig sind und Endergebnisse nur durch Rundungen anders sind.

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Bei mir war sogar noch ein Rechenfehler
vorhanden. Ich weiß aber nicht wie der Fehler
in die Rechnung gekommen ist. Ich vermute
einen Tipfehler mit dem Taschenrechner.

Ich will das Ganze jetzt auch nicht weiter
auswalzen aber der radioaktive Zerfall
wird gern als e Funktion formuliert um direkt
die " ln " Funktion als Umkehrfunktion ein-
setzen zu können.
e ^{ -λ * t }
Dann müßten dir die krummen Zahlen für
λ auch ein Greuel sein. Grins.

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Richtig :) Das sieht man auch daran, dass ich es nur umgeformt habe, damit aber nicht weiter gerechnet habe :)

Man hätte e) und f) also durchaus auch mit der Ableitung der e-Funktion rechnen können. Braucht man aber nur, wenn man nicht weiß wei allgemeine Exponentialfunktionen abzuleiten sind.

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Im Schulbuch des Fragestellers stand

das der Abbau des Kohlenstoffisotops 14C nach der Zerfallsformel N(t)= N(0)*0,999879878 ^t (t in Jahren) erfolgt."

Welch exakter Wert für a. Ist aber in der
Praxis purer Humbug.

Deine Lösung mit 1/2 ^{1/5730} ist zwar
knackig kurz, die Halbwertzeit selbst ist aber nur
mit " in etwa 5730 " angegeben.

Ich will das Ganze nicht unbedingt auswalzen aber
mir erschien manchmal das Modell für den
radioaktiven Zerfall nicht so ganz genau.
Falls eine radikative Substanz zerfällt
entstehen ja andere Substanzen die nunmehr
beim Zerfall störend / verlangsamend wirken
würden
1 kg radioaktiv
Halbwertszeit : 1/2 kg radiaktiv plus 1/2 kg andere
Substanzen die nunmehr störend auf den Zerfalls-
prozess wirken.

1/2 kg rein radioaktive Substanz zerfällt
sicher anders als ( 1/2 kg + 1/2 kg Zerfallsprodukte )

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Du kannst sicher mit der Formel

N(t) = N(0)·0.999879878^t

die Halbwertszeit ermitteln. Man kommt dort auf ein Wert von 5770 Jahre.

Und oh wunder oh wunder das ist ein Wert der ebenfalls als Halbwertszeit oft genannt wird.

Wikipedia weiß genaueres zu den Forschern und den gemessenen Daten

https://de.wikipedia.org/wiki/Radiokarbonmethode#Libby-_und_Cambridge-Halbwertszeit

5770 ergibt sich dort als obere Grenze der Schätzung von 1962 von 5730 ± 40 Jahren.

Seit 1990 wird eine Zerfallszeit von 5715 ± 30 Jahren empfohlen.

Und das das C14 in Pommes von einer großen Imbisskette schneller zerfällt, wegen dem beigemischten Pflanzenfett, ist denke ich nur ein Gerücht.

Answer 2

Dein Schulbuch wählt als Zeiteinheit Jahrtausende. Du wählst als Zeiteinheit ein Jahr. Richtig ist beides, wenn man das in seiner Antwort berücksichtigt.

Comments

Achse verstehe. Könntest du mir bei den anderen Aufgaben helfen. Vlt b damit ich irgendwas verstehe. Bitte

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Was meinst du mit "Achse verstehe"? Welche Aufgabe ist Vlt b?

Wahrscheinlich möchtest du b) vorgerechnet haben: Die Formel lautet: N(t)=N(0)a^t. Hier die bekannten Zahlen einsetzen 9,55=N(0)· 0,999879039³⁰⁰⁰.Jetzt TR einsetzen und nach N(0) auflösen.

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Oh entschuldige ich wollte aso verstehe schreiben. Danke ich probiere es einmal!

Answer 3

Der radioaktive Zerfall erfolgt als Exponentialfunktion.
Als Basis kann jede beliebige Zahl gewählt werden.

Bei Halbwertszeitberechnungen empfiehlt sich 1/2.
Warum
1/2 ^1 = 1/2 ( nach einer Zeiteinheit = 50 % vorhanden )
1/2 ^2 = 1/4 ( nach 2 Zeiteinheiten = 25 % vorhanden )
1/2 ^3 = 1/8 usw

n ( t ) = n0 * ( 1/2 ) ^{ Zeiteinheit }

bei 5730 muß 1 als Zeiteinheit eingesetzt werden
t / 5703
bei 11460  muß 2 als Zeiteinheit eingesetzt werden
11460 / 5730 = 2
Also
n ( t ) = n0 * ( 1/2 ) ^{t/5730}

Hier beginnt bereits mein erstes Problem. Ich hätte
es so gemacht:
N0/2=N0*a5730
a=0,5^1/5730
a= 0,999879039

Richtig
n ( t ) = n0 * a^5730
n ( t ) / n0  = a^5730
n ( t ) / n0 ist Verhältnis von noch vorhander
Menge zu Ausgangsmenge = 0.5
0.5  = a^5730 | hoch 1/5730
a = 0.5 ^{1/5730}
a = 0,999879039

n ( t ) = n0 * 0,999879039 ^{t}

Wir haben jetzt als möglich Basis für
eine Exponentialfunktion 1/2 oder a.
Die Eulersche Zahl wird auch gern genommen
weil durch die Umkehrfunktion mit " ln "
läßt sich manches leichter berechnen.

Wenn es weiter gehen soll dann bitte melden.

Comments

Unten hat es jemand mit 1/2 gemacht. Wie würde es mit a oder e gehen? Lg

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b)In einer menschlichen Probe sind 3 000 Jahre nach dem Tod nur noch 9,55 ng (Nanogramm) enthalten. Berechne jene Menge 14C die zum Zeitpunkt des Todes vorhanden war.

n ( t ) = n0 * 0,999879039 ^{t}
n ( 3000 ) = n0 * 0,999879039 ^{3000} = 9.55
n0 * 0,999879039 ^{3000} = 9.55
n0 * 0.6964 = 9.55
n0 = 13.71 ng

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Dankeschön jetzt verstehe ich alles!

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n0 * 0,999879039 3000 = 9.55
n0 * 0.6964 = 9.55
n0 = 13.71 ng
Korrektur
n0 * 0,999879039 3000 = 9.55
n0 * 0.69565 = 9.55
n0 = 13.728 ng