Exponentialfunktion Luftdruck. Stimmt das Buch nicht?

Question

Der Luftruck nimmt mit zunehmender Höhe exponentiell ab -nach dem Gesetz:

p(h)= p(0)*e^ λ*h bzw. p(h)=p(0)*a^h

p Druck in mbar, h in Höhe m

Er beträgt bei 0 m Seehöhe -Meeresniveau 1000mbar. Auf einer Seehöhe von 5500m beträgt der Druck nur mehr die Hälfte des Drucks auf Meeresniveau.

a) Geben Sie ein Gesetz für die Abnahme des Luftdrucks an.

Zeigen Sie durch Berechnung, dass λ= -0,000126 beträgt.

Das habe ich so gemacht:

5500= 500*a^5500

0,5= a^1/5500

a=0,999874

p(h)=1000*0,999874^h

e^-λ=0,999874

-λ= 0,999874

-λ=ln0,999874

λ=-ln0,999874

λ= 0,000126008

eingesetzt kommt dann p(h)= 1000*e^ -0,000126008*h raus. ABER sollte nicht λ= -0,000126008 und als Lösung p(h)= 1000*e^ 0,000126008*h richtig sein? HILFE

b) Fertige eine Skizze an, in der du mind. vier relevante Meesspunkte einzeichnest.

Welche sind das und wie finde ich sie?

c) Um wie viel % nimmt der Luftdruck pro km Höhenzunahme ab?

1000m= 1 km

0,999074^1000= 0,8816

1-0,8816

= 0,1184 also 11,84%

Ist glaube ich richtig

d)Die kritische Schwelle, dort wo der Mensch nicht mehr genügend Sauerstoff bekommt, liegt bei 40% des Wertes vom Meeresniveau. Berechne in welcher Höhe diese kritische Schwelle erreicht wird.

e) Erkläre welches Problem bei der Berechnung von Es gibt keinen Luftdruck mehr vorliegt. Beschreibe welcher grafische Zusammenhang diesem Problem entspricht.

f) Erkläre in welchem Intervall λ liegt.

Bei den letzten 3 Aufgaben kenne ich mich gar nicht aus.

Comments

Zu a) Wo kommt denn das Minuszeichen vor dem λ her? Versuchs mal mit λ=ln0,999874.

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 So wird es mir im Buch erklärt es umzurechnen. Stimmt das etwa nicht? 

Answer 1

d)

1000 mbar entsprechen hier 100%, also sind 40% 400mbar. Jetzt setzt man die bekannten Werte in eine der beiden aufgestellten Gesetze ein, zb ins zweite. Dann hat man:

400 = 1000*0,999874^h   | :1000

0,4  = 0,999874^h            | ln()

ln(0.4) = h*ln(0,999874)   | : ln(0,999874)  (Das h darf wegen der Logarithmusgesetze rausgezogen werden)

h = ln(0.4) / ln(0,999874) = 7271,69. (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Also bei knapp unter 7300 Metern wird es für den Menschen kritisch.

e)

Betrachte doch einfach nochmal genau den Funktionstyp, welchen den Sachverhalt darstellt. Es ist eine Exponentialfunktion, die einen Abnahmeprozess beschreibt und diese hier hat keine Nullstellen. Man kann hier immer größere Werte in beide Gesetze einsetzen. Die Werte werden zwar immer kleiner, aber nie Null. Sie nähern sich nur dem Wert Null, was man auch an einer Skizze deutlich machen kann. Anders gesagt mit ,,Es gibt keine Luft mehr'' ist hier nur umgangssprachlich zu sehen, weil eben ein Mensch nur mit einem bestimmten Mindestwert überleben kann, was bei unter 40% nicht der Fall wäre. Und wenn man diesen Wortlaut genaunimmt und versucht einen Höhenwert mit beiden Gesetzen zu finden, wird man keinen bekommen, da sie keine Nullstellen haben.

b)

Nimm die Werte, die in den Aufgabenstellungen vorkommen. Aus a) kann man zwei nehmen und aus c) und d) jeweils noch einen. Dann wählt man noch eine passende Skallierung, um den Graphen mit den bekannten Angaben einzeichnen zu können.

Answer 2

a)

p(h) = p(0)·e^{λ·h}

500 = 1000·e^{λ·5500} --> λ = - 0.0001260267601

Damit lautet das Gesetz in etwa

p(h) = p(0)·e^{- 0.000126·h}